Вычислить контурные интегралы, используя интегральную формулу Коши или теорему о вычетах

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Интегральные теоремы и вычисление вычетов

Необходимо вычислить контурные интегралы, используя интегральную формулу Коши или теорему о вычетах.

Решение задачи (а)

Дан интеграл:
 \oint_{|z|=3} \frac{z+1}{z^2+4} dz 

Шаг 1: Найдём особые точки

Разложим знаменатель:
 z^2 + 4 = (z - 2i)(z + 2i) 

Особые точки:  z = \pm 2i .
Обе точки находятся внутри контура  |z| = 3 .

Шаг 2: Разложение в простейшие дроби

Представим дробь в виде:
 \frac{z+1}{(z - 2i)(z + 2i)} = \frac{A}{z - 2i} + \frac{B}{z + 2i} 

Умножим на знаменатель:
 z + 1 = A(z + 2i) + B(z - 2i) 

Подставим  z = 2i :
 2i + 1 = A(2i + 2i) \Rightarrow 2i + 1 = A(4i) \Rightarrow A = \frac{2i + 1}{4i} 
Умножим числитель и знаменатель на  -i :
 A = \frac{(2i + 1)(-i)}{4(-1)} = \frac{-2i^2 - i}{-4} = \frac{2 - i}{4} = \frac{1}{2} - \frac{i}{4} 

Подставим  z = -2i :
 -2i + 1 = B(-2i - 2i) \Rightarrow -2i + 1 = B(-4i) \Rightarrow B = \frac{-2i + 1}{-4i} 
Умножим числитель и знаменатель на  i :
 B = \frac{(-2i + 1)i}{-4(-i)} = \frac{-2i^2 + i}{4} = \frac{2 + i}{4} = \frac{1}{2} + \frac{i}{4} 

Шаг 3: Вычисление вычетов

Вычет в  z = 2i :
 \text{Res}(f, 2i) = A = \frac{1}{2} - \frac{i}{4} 

Вычет в  z = -2i :
 \text{Res}(f, -2i) = B = \frac{1}{2} + \frac{i}{4} 

Сумма вычетов:
 \text{Res}(f, 2i) + \text{Res}(f, -2i) = \left(\frac{1}{2} - \frac{i}{4}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{4}\right) = 1 

По теореме о вычетах:
 \oint_{|z|=3} \frac{z+1}{z^2+4} dz = 2\pi i \cdot (1) = 2\pi i 

Решение задачи (б)

Дан интеграл:
 \oint_{|z|=0.5} \frac{1 + \tan 2z}{z} dz 

Шаг 1: Найдём особые точки

Функция имеет единственную особую точку  z = 0 , которая является полюсом первого порядка.

Шаг 2: Найдём вычет в  z = 0 

Вычет находится как коэффициент при  \frac{1}{z}  в разложении в ряд Лорана.
Разложим числитель в окрестности  z = 0 :
 1 + \tan 2z = 1 + (2z + \frac{(2z)^3}{3} + O(z^5)) = 1 + 2z + \frac{8z^3}{3} + O(z^5) 

Таким образом,
 \frac{1 + \tan 2z}{z} = \frac{1 + 2z + \frac{8z^3}{3} + O(z^5)}{z} = \frac{1}{z} + 2 + \frac{8z^2}{3} + O(z^4) 

Коэффициент при  \frac{1}{z}  равен  1 , значит,
 \text{Res}(f, 0) = 1 .

Шаг 3: Вычисление интеграла

По теореме о вычетах:
 \oint_{|z|=0.5} \frac{1 + \tan 2z}{z} dz = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i 

Ответ

а)  2\pi i 
б)  2\pi i