Вычислить, использовав формулу Муавра

Предмет: Математика

Раздел: Комплексные числа (использование формулы Муавра)

Формула Муавра используется для возведения комплексных чисел в степень. Она имеет вид: \[ (z)^n = r^n \cdot \left( \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi) \right) \], где \( z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \) — это комплексное число, записанное в тригонометрической форме, \( r = |z| \) — модуль числа, а \( \varphi \) — аргумент числа (угол в полярных координатах).

Мы будем решать пример 3, так как вы указали именно его.

Задание: Найти \((1 - i)^{75}\).

Шаг 1: Запись числа в тригонометрической форме

Для начала перепишем комплексное число \(1 - i\) в тригонометрической форме. Для этого найдем его модуль и аргумент.

Модуль \(r\):

\[ r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}. \]

Аргумент \(\varphi\):

Комплексное число \( 1 - i \) находится в четвёртой четверти комплексной плоскости. Найдем аргумент по формуле:

\[ \varphi = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{1}\right) = \tan^{-1}(-1). \]

Так как число находится в четвёртой четверти, то \( \varphi = -\frac{\pi}{4} \).

Следовательно, в тригонометрической форме число \( 1 - i \) можно записать как:

\[ 1 - i = \sqrt{2} \left( \cos\left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{4} \right) \right). \]

Шаг 2: Применение формулы Муавра

Теперь используем формулу Муавра для возведения числа в степень 75:

\[ (1 - i)^{75} = \left( \sqrt{2} \right)^{75} \cdot \left( \cos\left( 75 \cdot \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) + i \sin \left( 75 \cdot \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) \right). \]

Возведение модуля в степень:

\[ \left( \sqrt{2} \right)^{75} = 2^{\frac{75}{2}} = 2^{37.5}. \]

Умножение аргумента на 75:

\[ 75 \cdot \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{75\pi}{4}. \]

Теперь преобразуем угол \( -\frac{75\pi}{4} \). Чтобы найти эквивалентный угол в пределах \( [0, 2\pi) \), вычитаем целое количество оборотов:

\[ - \frac{75}{4} = -18.75 = -18 - \frac{3}{4}. \]

Целое число \( -18 \) соответствует полным кругам, которые можно отбросить. Следовательно, угол равен \( - \frac{3\pi}{4} \).

Шаг 3: Подстановка значений

Подставляем преобразованный угол и модуль в тригонометрическую запись:

\[ (1 - i)^{75} = 2^{37.5} \cdot \left( \cos\left( -\frac{3\pi}{4} \right) + i \sin\left( -\frac{3\pi}{4} \right) \right). \]

При этом:

\[ \cos\left( -\frac{3\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left( -\frac{3\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Следовательно, окончательный результат:

\[ (1 - i)^{75} = 2^{37.5} \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} \right). \]

Это выражение является результатом приложения формулы Муавра.