Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Интегралы в комплексной функции, Теорема Коши
Задание касается вычисления интегралов в комплексном анализе по контурам на комплексной плоскости. Итак, нам даны два интеграла:
где интегрирование происходит по окружности . Компоненты и — это реальные и мнимые части комплексного числа.
Для начала выразим и через комплексное число .
Представление комплексного числа:
Комплексное число имеет вид:
где:
- — это вещественная часть комплексного числа ,
- — это мнимая часть комплексного числа .
То есть, , где и — функции от .
Воспользуемся теоремой Коши:
Теорема Коши утверждает, что если функция аналитична внутри замкнутого контура и на самом контуре, то интеграл этой функции по замкнутому контуру будет равен нулю. Давайте применим это к нашим интегралам.
1. Рассмотрим первый интеграл .
Заменим вещественную часть комплексного числа на мнимую часть:
Теперь вводим функцию, представляющую этот интеграл; однако функция не является аналитической в области (так как она не дифференцируема в комплексном смысле), следовательно, мы не можем тут использовать теорему Коши напрямую. Однако можно понять, что нет аналитической функции одной переменной, для которой был бы действительной частью. Это приводит нас к результату, что:
2. Рассмотрим второй интеграл .
Аналогично, мнимая часть заменяется на :
Поскольку функция также не является аналитической в комплексном смысле, это выводит нас к аналогичному результату, что никакой аналитической функции, содержащей только , не существует, и по теореме Коши мы также получаем:
Итоговые ответы:
Таким образом, оба интеграла равны нулю.