Вычислить интегралы

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Интегралы в комплексной функции, Теорема Коши

Задание касается вычисления интегралов в комплексном анализе по контурам на комплексной плоскости. Итак, нам даны два интеграла:

  1. \(I1=по окружностиxdz\)
  2. \(I2=по окружностиydz\)

где интегрирование происходит по окружности \(|za|=R\). Компоненты \(x\) и \(y\) — это реальные и мнимые части комплексного числа.

Для начала выразим \(x\) и \(y\) через комплексное число \(z\).

Представление комплексного числа:

Комплексное число \(z\) имеет вид:

\[z=x+iy\]

где:

  • \(x\) — это вещественная часть комплексного числа \(z\),
  • \(y\) — это мнимая часть комплексного числа \(z\).

То есть, \(z=x+iy\), где \(x\) и \(y\) — функции от \(z\).

Воспользуемся теоремой Коши:

Теорема Коши утверждает, что если функция аналитична внутри замкнутого контура и на самом контуре, то интеграл этой функции по замкнутому контуру будет равен нулю. Давайте применим это к нашим интегралам.

1. Рассмотрим первый интеграл \(I1=по окружностиxdz\).

Заменим вещественную часть комплексного числа \(z\) на мнимую часть:

\[x=Re(z)\]

Теперь вводим функцию, представляющую этот интеграл; однако функция \(x\) не является аналитической в области (так как она не дифференцируема в комплексном смысле), следовательно, мы не можем тут использовать теорему Коши напрямую. Однако можно понять, что нет аналитической функции одной переменной, для которой \(x\) был бы действительной частью. Это приводит нас к результату, что:

\[I1=0\]

2. Рассмотрим второй интеграл \(I2=по окружностиydz\).

Аналогично, мнимая часть \(z\) заменяется на \(y\):

\[y=Im(z)\]

Поскольку функция \(y\) также не является аналитической в комплексном смысле, это выводит нас к аналогичному результату, что никакой аналитической функции, содержащей только \(y\), не существует, и по теореме Коши мы также получаем:

\[I2=0\]

Итоговые ответы:

\[I1=0\]

\[I2=0\]

Таким образом, оба интеграла равны нулю.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут