Вычислить интегралы

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Интегралы в комплексной функции, Теорема Коши

Задание касается вычисления интегралов в комплексном анализе по контурам на комплексной плоскости. Итак, нам даны два интеграла:

\(I_1 = \int \limits_{\text{по окружности}} x \, dz\)
\(I_2 = \int \limits_{\text{по окружности}} y \, dz\)

где интегрирование происходит по окружности \( |z - a| = R \). Компоненты \(x\) и \(y\) — это реальные и мнимые части комплексного числа.

Для начала выразим \(x\) и \(y\) через комплексное число \(z\).

Представление комплексного числа:

Комплексное число \(z\) имеет вид:

\[ z = x + iy \]

где:

\(x\) — это вещественная часть комплексного числа \(z\),
\(y\) — это мнимая часть комплексного числа \(z\).

То есть, \(z = x + iy\), где \(x\) и \(y\) — функции от \(z\).

Воспользуемся теоремой Коши:

Теорема Коши утверждает, что если функция аналитична внутри замкнутого контура и на самом контуре, то интеграл этой функции по замкнутому контуру будет равен нулю. Давайте применим это к нашим интегралам.

1. Рассмотрим первый интеграл \(I_1 = \int \limits_{\text{по окружности}} x \, dz\).

Заменим вещественную часть комплексного числа \( z \) на мнимую часть:

\[ x = \text{Re}(z) \]

Теперь вводим функцию, представляющую этот интеграл; однако функция \(x\) не является аналитической в области (так как она не дифференцируема в комплексном смысле), следовательно, мы не можем тут использовать теорему Коши напрямую. Однако можно понять, что нет аналитической функции одной переменной, для которой \(x\) был бы действительной частью. Это приводит нас к результату, что:

\[ I_1 = 0 \]

2. Рассмотрим второй интеграл \(I_2 = \int \limits_{\text{по окружности}} y \, dz\).

Аналогично, мнимая часть \(z\) заменяется на \(y\):

\[ y = \text{Im}(z) \]

Поскольку функция \(y\) также не является аналитической в комплексном смысле, это выводит нас к аналогичному результату, что никакой аналитической функции, содержащей только \(y\), не существует, и по теореме Коши мы также получаем:

\[ I_2 = 0 \]

Итоговые ответы: