Вычислить интеграл типа интеграла Дирихле с помощью вычетов

Предмет: Математика
Раздел: Комплексный анализ (Интегралы Дирихле, метод вычетов)

Задание:
Вычислить интеграл типа интеграла Дирихле с помощью вычетов:

 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin 5x}{x(x^2 - 4x + 5)} \, dx 

Шаг 1: Преобразуем интеграл с синусом в комплексную форму

Поскольку это интеграл типа Дирихле, содержащий \sin(ax), воспользуемся представлением синуса через экспоненту Эйлера:

 \sin(5x) = \frac{e^{i5x} - e^{-i5x}}{2i} 

Тогда интеграл можно записать как:

 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin 5x}{x(x^2 - 4x + 5)} dx = \Im \left( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{i5x}}{x(x^2 - 4x + 5)} dx \right) 

Обозначим:

 I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{i5x}}{x(x^2 - 4x + 5)} dx 

Шаг 2: Переход к комплексному интегралу

Рассмотрим функцию:

 f(z) = \frac{e^{i5z}}{z(z^2 - 4z + 5)} 

Интегрируем по полукругу в верхней полуплоскости (т.к. e^{i5z} убывает на бесконечности в верхней полуплоскости при 5 > 0).

Шаг 3: Найдём полюса функции

Разложим знаменатель:

 z(z^2 - 4z + 5) = z[(z - 2)^2 + 1] 

Полюса:

1. z = 0 (простой полюс)
2. z = 2 + i (комплексный полюс в верхней полуплоскости)
3. z = 2 - i (комплексный полюс в нижней полуплоскости)

В верхнюю полуплоскость входят полюса:
z = 0 и z = 2 + i

Шаг 4: Применим теорему о вычетах

Интеграл по вещественной оси равен 2\pi i умножить на сумму вычетов в верхней полуплоскости:

 I = 2\pi i \cdot \left( \operatorname{Res}_{z=0} f(z) + \operatorname{Res}_{z=2+i} f(z) \right) 

Шаг 5: Найдём вычеты

Вычет в точке z = 0:

 \operatorname{Res}_{z=0} f(z) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{e^{i5z}}{z(z^2 - 4z + 5)} = \frac{1}{5} 

Вычет в точке z = 2 + i:

Это простой полюс. Используем формулу:

 \operatorname{Res}_{z=a} f(z) = \lim_{z \to a} (z - a)f(z) 

Вычислим:

 \operatorname{Res}_{z=2+i} f(z) = \lim_{z \to 2+i} \frac{e^{i5z}}{z(z - (2 - i)) (z - (2 + i))} 

Заметим, что:

 z^2 - 4z + 5 = (z - (2 - i))(z - (2 + i)) 

Тогда:

 \operatorname{Res}_{z=2+i} f(z) = \frac{e^{i5(2+i)}}{(2+i)[(2+i) - (2 - i)]} = \frac{e^{i5(2+i)}}{(2+i)(2i)} = \frac{e^{i10} e^{-5}}{(2+i)(2i)} 

Шаг 6: Подставим в формулу

 I = 2\pi i \left( \frac{1}{5} + \frac{e^{i10} e^{-5}}{(2+i)(2i)} \right) 

Теперь берём мнимую часть:

 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin 5x}{x(x^2 - 4x + 5)} dx = \Im(I) 

Рассчитаем:

 \Im(I) = \Im\left(2\pi i \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{e^{i10} e^{-5}}{(2+i)(2i)} \right)\right) 

 = 2\pi \cdot \Re\left( \frac{1}{5} + \frac{e^{i10} e^{-5}}{(2+i)(2i)} \right) 

Шаг 7: Приблизительные вычисления

Численно:

 e^{i10} = \cos(10) + i \sin(10), \quad e^{-5} \approx 0.0067 

 (2+i)(2i) = 4i + 2i^2 = 4i - 2 = -2 + 4i 

Далее можно подставить и вычислить численно, но главное:

Ответ:

 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin 5x}{x(x^2 - 4x + 5)} dx = 2\pi \cdot \Re\left( \frac{1}{5} + \frac{e^{i10} e^{-5}}{(2+i)(2i)} \right) 

Или численно (приближённо):

 \boxed{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin 5x}{x(x^2 - 4x + 5)} dx \approx \frac{2\pi}{5} \approx 1.257 } 

(вклад второго вычета мал из-за e^{-5})