Вычислить интеграл с использованием формулы Ньютона-Лейбница

Предмет: Математика

Раздел: Комплексный анализ (вычисление криволинейных интегралов)

Условие:

Необходимо вычислить интеграл
\int_C z \cdot e^{iz} \, dz,
где контур C — ломаная, соединяющая точки
z_1 = -\frac{\pi i}{2},
z_2 = \pi - 2i,
z_3 = \frac{\pi i}{6},
с использованием формулы Ньютона-Лейбница.

Решение:

Для вычисления интеграла с использованием формулы Ньютона-Лейбница нам нужно найти первообразную функции f(z) = z \cdot e^{iz}.

1. Найдем первообразную функции:

Рассмотрим F(z), такую что F'(z) = z \cdot e^{iz}.
Для нахождения F(z) используем метод интегрирования по частям.

Пусть:

• u = z, тогда du = dz,
• dv = e^{iz} dz, тогда v = \frac{e^{iz}}{i}.

По формуле интегрирования по частям:  \int z \cdot e^{iz} \, dz = \frac{z \cdot e^{iz}}{i} - \int \frac{e^{iz}}{i} \, dz. 

Второй интеграл:  \int \frac{e^{iz}}{i} \, dz = \frac{e^{iz}}{-1} = -e^{iz}. 

Итак:  F(z) = \frac{z \cdot e^{iz}}{i} + e^{iz}. 

2. Запишем формулу Ньютона-Лейбница:

 \int_C f(z) \, dz = F(z_3) - F(z_1),  где F(z) — первообразная.

3. Вычислим значения F(z) в точках:

Подставим z_1 = -\frac{\pi i}{2}, z_3 = \frac{\pi i}{6}.

Для z_1 = -\frac{\pi i}{2}:  F(z_1) = \frac{-\frac{\pi i}{2} \cdot e^{i \cdot \left(-\frac{\pi i}{2}\right)}}{i} + e^{i \cdot \left(-\frac{\pi i}{2}\right)}.  С учетом e^{-i^2} = e^{1} = e и упрощения вычисляем.

Для z_3