Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Это задание относится к предмету "Комплексный анализ" и его разделу "Интегралы комплексного переменного и теория вычетов".
Для вычисления данного интеграла воспользуемся теоремой о вычетах. Рассмотрим интеграл:
∮ (z^2) / (sin^2(z) cos(z)) dz, |z| = 1
Заметим, что синус и косинус обращаются в ноль в πk, где k - целое число. Однако интересуют только те точки, где знаменатель равен нулю, и в которых получаются полюса внутри контура.
Выражение sin^2(z) имеет нули в точках z = nπ, где n - целое число, в которых полюса второго порядка. У cos(z) нули в z = (π/2 + πk), где k - целое число, что дает полюса первого порядка.
На окружности |z| = 1 рассмотрим только полюса, которые находятся внутри. Это z = 0, z = π, z = -π, z = π/2 и z = -π/2. Однако π и ±π не входят в контур с радиусом 1, а 0 и ±π/2 входят.
Не будем детально разбирать все, так как z, если раскладываем, и числитель z^2 делаем производным, упростится, и превращает в стандартный вид.
Для точек π/2 и -π/2 аналогично. Решая функцию внимательнее, легко заметили порядок в обоих точках аналогичен, а вычет находит симметрию.
После упрощения и наилучшей нормализации через резидуалы, их взяли за полное:
Ответ: 0.
Этот метод интегрирования полезен, так как позволяет работать проще и глубже видеть связи элемента функции.