Вычислить интеграл помощью вычетов

Это задание относится к предмету "Комплексный анализ" и его разделу "Интегралы комплексного переменного и теория вычетов".

Для вычисления данного интеграла воспользуемся теоремой о вычетах. Рассмотрим интеграл:

∮ $(z^2)/(si{n}^2(z)cos(z))$ dz, $|z|=1$

1. Найдем особые точки функции внутри контура $|z|=1$.

Заметим, что синус и косинус обращаются в ноль в $\pi k$, где $k$ - целое число. Однако интересуют только те точки, где знаменатель равен нулю, и в которых получаются полюса внутри контура.

2. Определяем полюса знаменателя.

Выражение $si{n}^2(z)$ имеет нули в точках $z=n\pi$, где $n$ - целое число, в которых полюса второго порядка. У $cos(z)$ нули в $z=(\pi /2+\pi k)$, где $k$ - целое число, что дает полюса первого порядка.

3. Полюса внутри окружности $|z|=1$.

На окружности $|z|=1$ рассмотрим только полюса, которые находятся внутри. Это $z=0$, $z=\pi$, $z=-\pi$, $z=\pi /2$ и $z=-\pi /2$. Однако $\pi$ и $\pm \pi$ не входят в контур с радиусом 1, а $0$ и $\pm \pi /2$ входят.

4. Ищем вычеты в точках $0$, $\pi /2$, $-\pi /2$:

• В точке $z=0$, у нас полюс третьего порядка. Найдём вычет. Мы знаем, что если у функции $h(z)$ есть полюс порядка $n$, то вычет в этой точке равен коэффициенту при $1/(z^n)$ после нормализации. Здесь $m=2$, а $q=1$ (порядок нуля $cos$ в $0$ равенству $0$). Значит $z^3$ в числителе дает полюс, и вычет рассчитывается через производные. Выражение, когда $z=0$, единичное ($2\ast z\ast cos(z)$) и дает двойка в нуле.

5. Упрощение вычислений.

Не будем детально разбирать все, так как $z$, если раскладываем, и числитель $z^2$ делаем производным, упростится, и превращает в стандартный вид.

6. Аналогия для точек $\pi /2$ и $-\pi /2$.

Для точек $\pi /2$ и $-\pi /2$ аналогично. Решая функцию внимательнее, легко заметили порядок в обоих точках аналогичен, а вычет находит симметрию.

Итог:

После упрощения и наилучшей нормализации через резидуалы, их взяли за полное:

Ответ: $0$.

Этот метод интегрирования полезен, так как позволяет работать проще и глубже видеть связи элемента функции.