Вычислить интеграл по производной линии, соединяющий точки

Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Комплексный анализ". Нам нужно вычислить интеграл \( \int_L (i-1) z^7 \, dz \) по произвольной линии, соединяющей точки \( z_1 = -2 + 2\sqrt{3}i \) и \( z_2 = 0 \). Для решения задачи можно воспользоваться тем, что этот интеграл является аналитической функцией, и его значение зависит только от начальной и конечной точек.

1. Определим выражение для интеграла.

Нам нужно вычислить интеграл от функции \( (i-1)z^7 \). Этот интеграл имеет вид: \[ \int_L (i-1) z^7 \, dz \]

2. Функция в комплексной плоскости.

Функция \( f(z) = (i-1) z^7 \) - аналитическая.

3. Параметризация линии.

Параметризуем произвольную линию от точки \( z_1 \) до точки \( z_2 \) как \( z(t) = (1-t)z_1 + tz_2 \), где \( t \) меняется от 0 до 1. Тогда:

\[ z(t) = (1-t)(-2 + 2\sqrt{3}i) + t\cdot0 = -2(1-t) + 2\sqrt{3}i(1-t) \]

Соответственно, \[ dz = z'(t) \, dt = (-2 + 2\sqrt{3}i) \, dt \]

4. Рассчитаем интеграл с использованием параметризации.

\[ \int_0^1 (i-1)(((1-t)(-2 + 2\sqrt{3}i))^7)(-2 + 2\sqrt{3}i) \, dt \]

5. Свойства аналитических функций и линейность интеграла.

Так как произвольная линия не содержит особых точек, можно применить фундаментальную теорему комплексного анализа. Однако для этого случая, чтобы найти точное значение, мы свернем в формализованную форму. Но с точки зрения оценки, так как 0 "закрывает" все, учитывая полином и градиент, данный интеграл вообще становится 0 ввиду отсутствия остатков и других переменных.

Итог:

\[ \int_L (i-1) z^7 \, dz = 0 \]