Вычислить интеграл от функции комплексного переменного

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Контурные интегралы и функции комплексного переменного

Дано:
Необходимо вычислить интеграл
\oint_L |z| \bar{z} \, dz,
где контур L — это полуокружность |z| = 4 в правой полуплоскости (\text{Re} \, z \geq 0).

Решение:

1. Выразим величины через полярные координаты
   В полярной форме представим z и его сопряженное значение:  z = 4 e^{i\theta}, \quad \bar{z} = 4 e^{-i\theta}, \quad |z| = 4. 

   Тогда подынтегральное выражение:  |z| \bar{z} = 4 \cdot (4 e^{-i\theta}) = 16 e^{-i\theta}. 

2. Дифференциал dz в полярных координатах
   Дифференцируя z = 4 e^{i\theta}, получаем:  dz = i 4 e^{i\theta} d\theta. 

3. Подстановка в интеграл
   Интеграл принимает вид:  \oint_L 16 e^{-i\theta} \cdot (i 4 e^{i\theta} d\theta). 

   Упрощаем:  \oint_L 16 \cdot i 4 e^{-i\theta} e^{i\theta} d\theta = \oint_L 16 \cdot i 4 d\theta. 

   Так как e^{-i\theta} e^{i\theta} = 1, остается:  \oint_L 64 i d\theta. 

4. Пределы интегрирования
   Так как контур L — это полуокружность в правой полуплоскости, угол \theta изменяется от -\frac{\pi}{2} до \frac{\pi}{2}.

   Интегрируем:  \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 64 i d\theta = 64 i \left( \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) = 64 i \cdot \pi. 

5. Ответ
    \oint_L |z| \bar{z} \, dz = 64 i \pi.