Вычислить интеграл, используя вычеты (на рис показать контур интегрирования и особые точки)

Предмет: Математика
Раздел: Комплексный анализ (Интегралы от комплексных функций, метод вычетов)

Задание:
Вычислить интеграл с помощью метода вычетов:

 \int\limits_L \frac{\sinh{2z}}{z(z+i)} \, dz, 

где контур интегрирования L — окружность x^2 + y^2 = 0{,}25, то есть радиус r = 0{,}5 и центр в начале координат.

Шаг 1: Найдём особые точки подынтегральной функции

Функция:

 f(z) = \frac{\sinh{2z}}{z(z+i)} 

Особые точки — это точки, в которых знаменатель обращается в ноль:

• z = 0
• z = -i

Проверим, лежат ли эти точки внутри контура L.

• |0| = 0 < 0{,}5 — точка внутри круга.
• |-i| = 1 > 0{,}5 — точка вне круга.

Следовательно, внутри контура L находится только одна особая точка: z = 0.

Шаг 2: Найдём вычет функции в точке z = 0

Вычет в простой полюс (первого порядка) вычисляется по формуле:

 \operatorname{Res}(f, 0) = \lim\limits_{z \to 0} z \cdot f(z) = \lim\limits_{z \to 0} \frac{\sinh{2z}}{z+i} 

Подставим z = 0:

 \operatorname{Res}(f, 0) = \frac{\sinh{0}}{0 + i} = \frac{0}{i} = 0 

Шаг 3: Применим теорему Коши о вычетах

Если функция аналитична в области, ограниченной контуром, за исключением конечного числа изолированных особых точек, то:

 \int\limits_L f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \sum \operatorname{Res}(f, z_k) 

В нашем случае:

 \int\limits_L \frac{\sinh{2z}}{z(z+i)} \, dz = 2\pi i \cdot 0 = 0 

Ответ:

 \boxed{0} 

Иллюстрация (контур и особые точки):

• Окружность радиуса 0{,}5 с центром в начале координат.
• Особая точка z = 0 — внутри круга.
• Особая точка z = -i — вне круга.

(См. рисунок ниже)