Вычислить интеграл, используя интегральную теорему Коши о вычетах

Задание относится к предмету комплексный анализ, раздел интегральные теоремы и вычеты. Нам нужно вычислить интеграл \[ \oint_{|z-i|=1} \frac{e^z}{z^4 + 2z^2 + 1} \, dz \] используя интегральную теорему Коши о вычетах.

Шаг 1: Анализ знаменателя

Первым шагом разложим знаменатель на множители. Заметим, что \[ z^4 + 2z^2 + 1 = (z^2 + 1)^2. \]

Шаг 2: Найти полюса

Рассмотрим корни уравнения \( z^2 + 1 = 0 \). Это уравнение имеет корни: \[ z = \pm i. \] Таким образом, \( z^4 + 2z^2 + 1 = (z^2 + 1)^2 \) имеет кратные корни \( z = i \) и \( z = -i \).

Шаг 3: Определение полюсов внутри контура

Контур \( |z-i| = 1 \) — это круг радиуса 1 с центром в \( z = i \). Проверим, какие корни находятся внутри контура. Полюс \( z = -i \) лежит за пределами этого круга, а полюс \( z = i \) находится на границе круга. Поскольку полюс \( z = i \) лежит на контуре, интеграл может быть вычислен прямым использованием выбранного метода. Так как в условиях задачи предполагается использование вычетов (то есть подразумевается нажатие полюсов внутри контура), рассмотрим как эту задачу решить корректнее на алгебраической основе.

Шаг 4: Использование интегральной теоремы Коши о вычетах

Рассмотрим функцию внутри контура с точки зрения ее вычетов внутри. Для учета всех интегралов для каждого случая, используем: \[ Res(f, z_0) {для кратного полюса} = \frac{1}{k-1!} \lim_{z->z_j} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}[(z - z_j)^k f(z)] \] Так как полюс второго порядка \( z_0 = i \):

Шаг 5: Вычисление вычетов

Рассмотрим вычет второго порядка для \( z = i \): \[ f(z) = \frac{e^z}{(z+i)^2}\] то: \[ Res_{z=i} f(z) = \lim_{z->i} \frac{d}{dz} \left(\frac{e^z}{2i(z-i)^2}\right) = \lim_{z->i} \frac{d}{dz} \left(e^z/(2i(z-i)\right) = \lim_{z->i} - \frac{e^z*(z+i+e^z*(-1))}{2i(z-i)^2} = - \frac{e^{i}}{(2i)} \]

Шаг 6: Итоговое значение интеграла.

Таким образом, интеграл равен (2\pi i) умноженное на значение вычетов:

Заключение

\[ \oint_{|z-i|=1} \frac{e^z}{z^4 + 2z^2 + 1} \, dz = 0.2 π i \]