Вычислить интеграл где C — граница полуокружности, изображенной на рисунке

Предмет: Математика

Раздел: Комплексный анализ (интегралы по контуру)

Дано: Вычислить интеграл

\int_C \frac{z}{z} \, dz,

где C — граница полуокружности, изображенной на рисунке (состоит из полуокружности радиуса 2 и отрезка по оси x от -2 до 2).

Решение:

Функция, подынтегральная в данном случае, упрощается:

\frac{z}{z} = 1.

Следовательно, интеграл принимает вид:

\int_C 1 \, dz.

Теперь рассмотрим контур C, который состоит из двух частей:

1. Верхняя полуокружность радиуса 2.
2. Прямолинейный отрезок по оси x от -2 до 2.

1. Интеграл по полуокружности

На полуокружности параметризация имеет вид:

z = 2e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, \pi].

Дифференциал dz вычисляется как:

dz = i \cdot 2e^{i\theta} \, d\theta.

Подставляем в интеграл:

\int_{\text{полуокружность}} 1 \, dz = \int_0^\pi i \cdot 2e^{i\theta} \, d\theta = 2i \int_0^\pi e^{i\theta} \, d\theta.

Заметим, что e^{i\theta} распадается на \cos\theta + i\sin\theta. Интеграл от косинуса и синуса по симметричным пределам дает ноль (так как они периодические функции). Следовательно, интеграл по полуокружности равен:

\int_{\text{полуокружность}} 1 \, dz = 0.

2. Интеграл по отрезку

На отрезке C параметризация имеет вид:

z = x, \quad x \in [-2, 2].

Дифференциал dz:

dz = dx.

Подставляем в интеграл:

\int_{\text{отрезок}} 1 \, dz = \int_{-2}^2 1 \, dx = \left[ x \right]_{-2}^2 = 2 - (-2) = 4.

Итог:

Суммируем результаты:

\int_C \frac{z}{z} \, dz = 0 + 4 = 4.

Ответ: 4.