Вычислить интеграл функции комплексного переменного

Это задание относится к предмету "Комплексный анализ", который является разделом математики, изучающим функции комплексного переменного и их свойства.

Нам нужно вычислить комплексный интеграл \(\int_{\gamma} e^{|z|^2} Re(z) \, dz\), где \(\gamma\) — отрезок по прямой от \(0\) до \(1 + i\).

Шаг 1: Представление пути интегрирования

Пусть \(z\) — параметрическое представление переменной, описывающей наш путь \(\gamma\). Мы рассматриваем путь \(\gamma\) от \(0\) до \(1 + i\).

Можно заключить, что \(z(t) = t + it\), где \(t\) изменяется от 0 до 1.

Шаг 2: Вывод дифференциала dz

Дифференциируем \(z(t)\) по \(t\): \[\frac{dz}{dt} = 1 + i\]

Таким образом, \(dz = (1 + i) \, dt\).

Шаг 3: Выражение переменных через t

Рассмотрим каждую часть функции под интегралом:

1. \( |z|^2 \): \[|z|^2 = (t + it)(\overline{t + it}) = t^2 + (it)(-it) = t^2 + t^2 = 2t^2\] Так как множитель \(i\) и его сопряженные итерации уходят.
2. \(Re(z)\): Поскольку \(z = t + it\), то \(Re(z) = t\).
3. Далее, \(dz = (1+i) dt\).

Шаг 4: Составление и решение интеграла

Теперь мы можем составить и решить интеграл: \[\int_{\gamma} e^{|z|^2} Re(z) \, dz = \int_{0}^{1} e^{2t^2} t (1 + i) \, dt\]

Разделим интеграл на действительную и мнимую часть: \[\int_{0}^{1} e^{2t^2} t \, dt + i \int_{0}^{1} e^{2t^2} t \, dt\]

Это можно упрощенно представить как: \[(1 + i) \int_{0}^{1} t e^{2t^2} \, dt\]

Шаг 5: Решение действительного интеграла

Вспомним, что интеграл \(\int e^{u} du = e^{u}\):

Заменим \(u = 2t^2\). Тогда \(du = 4t \, dt \implies dt = \frac{du}{4t}\).

Так что: \[\int_{0}^{1} t e^{2t^2} \, dt = \int_{0}^{2} \frac{1}{4} e^u \, du\]

Пределы интегрирования изменяются таким образом:

• когда \(t = 0\), то \(u = 0\),
• когда \(t = 1\), то \(u = 2\).

\[\frac{1}{4} \int_{0}^{2} e^u \, du = \frac{1}{4} \left[ e^u \right]_{0}^{2} = \frac{1}{4} (e^2 - 1) \]

Шаг 6: Окончательный результат

Таким образом: \[(1 + i) \cdot \frac{1}{4} (e^2 - 1) = \frac{1+i}{4} (e^2 - 1)\]

Окончательный результат: \[\int_{\gamma} e^{|z|^2} Re(z) \, dz = \frac{1+i}{4} (e^2 - 1)\]

Таким образом, ответом на задачу является: \[\frac{(1+i)}{4} (e^2 - 1)\]