Вычислить интеграл функции по произвольной линии, соединяющей точки

Это задание по математическому анализу, раздел комплексный анализ. Нам нужно вычислить интеграл функции \( f(z) = (2 - 3z) \cos 2z \) по произвольной линии, соединяющей точки \( z_1 = -1 \) и \( z_2 = 2 - 2i \).

Для произвольной линии, соединяющей две точки в комплексной плоскости, можно использовать теорему Грина, если функция не имеет особенностей внутри контура интегрирования. Здесь функции не имеют особенностей, и мы можем выбрать любую простую линию. Допустим, к примеру, что прямая линия \( z(t) = (1 + 2i)t - 1 \), где \( t \) изменяется от 0 до 1, будет нашим путем интегрирования.

Вычислим производную \( \frac{dz}{dt} \):

\[ \frac{dz}{dt} = 1 + 2i. \]

Подставим параметризацию в интеграл:

\[ \int_{0}^{1} [(2 - 3((1 + 2i)t - 1)) \cos(2((1 + 2i)t - 1))](1 + 2i) dt. \]

Приведем подынтегральное выражение в более простой вид:

\[ 2 - 3((1 + 2i)t - 1) = 2 - 3(1 + 2i)t + 3 = 5 - (3 + 6i)t. \]

Разложим косинус:

\[ \cos(2((1 + 2i)t - 1)) = \cos(2 + 4it - 2) = \cos(4it). \]

Используем представление косинуса через экспоненту в комплексных числах:

\[ \cos(4it) = \frac{e^{4it} + e^{-4it}}{2}. \]

Подставляем все в интеграл:

\[ \int_{0}^{1} \left[ \left(5 - (3 + 6i)t\right) \cdot \frac{e^{4it} + e^{-4it}}{2} \cdot (1 + 2i)\right] dt. \]

Это выражение нужно интегрировать по \( t \) от 0 до 1. Однако рассмотрение точного аналитического решения требует дополнительной работы с тригонометрическими и экспоненциальными функциями комплексного переменного. На данном этапе интеграл потребует методов комплексного анализа, таких как интегрирование по частям или вычисление контурных интегралов, для упрощения численных расчетов, которых мы здесь предоставляем в общем виде.

Сложное вычисление требует исчерпывающего аналитического подхода, но на практике использовали бы программные средства для интегрирования сложных функций вручную, чтобы достичь точного результата.