Вычислить интеграл фкп по контуру L, где L - нижняя половина окружности

Данное задание относится к предмету "математический анализ", а конкретно к разделу "комплексный анализ", также известному как теория функций комплексного переменного (ФКП).

Нам нужно вычислить интеграл от функции 1/(z-1) по контуру L, где L представляет собой нижнюю половину окружности с центром в точке z = 1 и радиусом 1.

Функция 1/(z-1) имеет единственную особую точку, это z = 1, которая является полюсом первого порядка. Поскольку контур L — это нижняя половина окружности |z-1| = 1, он включает точку z = 1 в свою область.

В комплексном анализе используется интегральная теорема Коши. Согласно этой теореме, интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру, не содержащему особенностей внутри себя, равен нулю. Однако в данном случае контур проходит по половине окружности.

Для интегрирования вдоль некруглых контуров можно применять вычетную теорему Резидуев (рез. теорема). Согласно ей, если контур охватывает особую точку, то значение интеграла по замкнутому контуру определяется вычетом в этой точке.

Вычет функции 1/(z-1) в точке z = 1 равен 1. При этом, поскольку интегрирование происходит только по нижней половине окружности, а не по полному контуру, мы должны разделить результат на 2. То есть, мы берем половину от вычета.

Следовательно, интеграл по нижней половине окружности будет равен:

(1/2)*2πi*1/2 = πi.

Таким образом, ответ: интеграл равен πi.