Вычислить интеграл

Раздел и предмет:

Этот пример относится к разделу математического анализа предмета высшей математики. Мы рассматриваем несобственные интегралы в комплексной плоскости с применением метода вычетов.

Задача:

Нам нужно вычислить следующий интеграл: \[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2 - 3}{(x^2 + 1)(x^2 + 16)} dx \]

Пояснение метода:

Для нахождения такого рода интегралов можно воспользоваться интегрированием по контуру в комплексной плоскости и применением вычетов. Мы будем рассматривать этот интеграл как комплексный и использовать вычеты для вычислений.

Шаги решения:

1. Запись интегранта в комплексной форме. Переходим в комплексную плоскость, заменив \( x \) на \( z \), где \( z \) — комплексное число: \[ f(z) = \frac{z^2 - 3}{(z^2 + 1)(z^2 + 16)} = \frac{z^2 - 3}{(z - i)(z + i)(z - 4i)(z + 4i)} \]
2. Комплексные особенности. Функция \( f(z) \) имеет полюса в точках \( z = i, z = -i, z = 4i \) и \( z = -4i \). Полюса на верхней полуплоскости: \( z = i \) и \( z = 4i \). Полюса на нижней полуплоскости \( z = -i \) и \( z = -4i \).
3. Контур для интегрирования. Для применения теоремы о вычетах, интеграл по отрезку действительной оси можно связать с интегралом по замкнутому контуру, который состоит из участка по действительной оси от \( -R \) до \( +R \) и полуокружности радиуса \( R \) в верхней полуплоскости.
4. Интеграл по полуокружности. Для достаточно большого \( R \), интеграл по полуокружности стремится к нулю при \( R \to \infty \) (по оценке через асимптотику функции).
5. Вычеты в полюсах. Рассмотрим теперь полюса в области \( \Im z > 0 \) — это \( z = i \) и \( z = 4i \). Вычислим вычеты функции \( f(z) = \frac{z^2 - 3}{(z - i)(z + i)(z - 4i)(z + 4i)} \):

   Вычет в \( z = i \):

   Для полюса первого порядка в точке \( z = i \): \[ \text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z - i)f(z) = \lim_{z \to i} \frac{z^2 - 3}{(z + i)(z - 4i)(z + 4i)} \]

   Подставляем \( z = i \): \[ \frac{i^2 - 3}{(i + i)(i - 4i)(i + 4i)} = \frac{-1 - 3}{2i(5i)(-3i)} = \frac{-4}{2i \cdot 5i \cdot (-3i)} = \frac{-4}{30i^3} = \frac{-4}{30(-i)} = \frac{4}{30}i = \frac{2i}{15} \]

   Вычет в \( z = 4i \):

   Теперь вычислим вычет в точке \( z = 4i \): \[ \text{Res}(f, 4i) = \lim_{z \to 4i} (z - 4i)f(z) = \lim_{z \to 4i} \frac{z^2 - 3}{(z - i)(z + i)(z + 4i)} \]

   Подставляем \( z = 4i \): \[ \frac{(4i)^2 - 3}{(4i - i)(4i + i)(4i + 4i)} = \frac{-16 - 3}{(3i)(5i)(8i)} = \frac{-19}{120i^3} = \frac{-19}{120(-i)} = \frac{19i}{120} \]

6. Применение теоремы о вычетах. Теперь, используя теорему о вычетах, получаем: \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(z) dz = 2\pi i \left( \text{Res}(f, i) + \text{Res}(f, 4i) \right) \]

Подставляем рассчитанные вычеты: \[ I = 2\pi i \left( \frac{2i}{15} + \frac{19i}{120} \right) \]

Преобразуем выражение: \[ I = 2\pi i \cdot i \left( \frac{2}{15} + \frac{19}{120} \right) \]

Учтя, что \( i^2 = -1 \): \[ I = -2\pi \left( \frac{2}{15} + \frac{19}{120} \right) \]

Приводим к общему знаменателю: \[ I = -2\pi \left( \frac{16}{120} + \frac{19}{120} \right) = -2\pi \cdot \frac{35}{120} = -2\pi \cdot \frac{7}{24} = -\frac{7\pi}{12} \]

Ответ: