Вычисление значений функций комплексного переменного

Определение предмета и раздела

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Вычисление значений функций комплексного переменного

Решение

Часть (a): Вычисление f(z) = \sinh z в точке z_0 = 1 + \frac{\pi}{2} i

Гиперболический синус определяется как:

 \sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2} 

Подставляем z_0 = 1 + \frac{\pi}{2} i:

 \sinh(1 + \frac{\pi}{2} i) = \frac{e^{1 + \frac{\pi}{2} i} - e^{-(1 + \frac{\pi}{2} i)}}{2} 

Используем разложение экспоненты:

 e^{a+bi} = e^a (\cos b + i \sin b) 

Для e^{1 + \frac{\pi}{2} i}:

 e^1 (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = e (0 + i \cdot 1) = i e 

Для e^{-(1 + \frac{\pi}{2} i)}:

 e^{-1} (\cos (-\frac{\pi}{2}) + i \sin (-\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{e} (0 - i \cdot 1) = -i \frac{1}{e} 

Теперь вычисляем разность:

 \sinh(1 + \frac{\pi}{2} i) = \frac{i e - (-i \frac{1}{e})}{2} = \frac{i (e + \frac{1}{e})}{2} 

Зная, что \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, получаем:

 \sinh(1 + \frac{\pi}{2} i) = i \cosh 1 

Приближённое значение:

 \cosh 1 \approx 1.543 

Ответ:

 \sinh(1 + \frac{\pi}{2} i) \approx 1.543 i 

Часть (б): Вычисление f(z) = \operatorname{arctg} z в точке z_0 = \frac{3+4i}{5}

Арктангенс комплексного числа вычисляется по формуле:

 \operatorname{arctg} z = \frac{i}{2} \ln \left( \frac{1 - iz}{1 + iz} \right) 

Подставляем z_0 = \frac{3+4i}{5}:

1. Вычисляем 1 - i z:

    1 - i \cdot \frac{3+4i}{5} = 1 - \frac{3i + 4(-1)}{5} = 1 - \frac{3i - 4}{5} = \frac{5 - 3i + 4}{5} = \frac{9 - 3i}{5} 

2. Вычисляем 1 + i z:

    1 + i \cdot \frac{3+4i}{5} = 1 + \frac{3i + 4(-1)}{5} = 1 + \frac{3i - 4}{5} = \frac{5 + 3i - 4}{5} = \frac{1 + 3i}{5} 

3. Вычисляем их отношение:

    \frac{1 - i z}{1 + i z} = \frac{\frac{9 - 3i}{5}}{\frac{1 + 3i}{5}} = \frac{9 - 3i}{1 + 3i} 

   Домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое 1 - 3i:

    \frac{(9 - 3i)(1 - 3i)}{(1 + 3i)(1 - 3i)} 

   Вычисляем знаменатель:

    (1 + 3i)(1 - 3i) = 1 - 9i^2 = 1 + 9 = 10 

   Вычисляем числитель:

    9 - 27i - 3i + 9i^2 = 9 - 27i - 3i - 9 = -27i - 3i = -30i 

   Таким образом:

    \frac{1 - i z}{1 + i z} = \frac{-30i}{10} = -3i 

4. Вычисляем логарифм:

    \ln(-3i) = \ln 3 + \ln (-i) 

   Так как \ln (-i) = i \frac{\pi}{2}, получаем:

    \ln(-3i) = \ln 3 + i \frac{\pi}{2} 

5. Умножаем на \frac{i}{2}:

    \operatorname{arctg} z = \frac{i}{2} (\ln 3 + i \frac{\pi}{2}) 

   Разделяем на действительную и мнимую части:

    \operatorname{arctg} z = \frac{i \ln 3}{2} - \frac{\pi}{4} 

Приближённые значения:

 \ln 3 \approx 1.099 

 \operatorname{arctg} z \approx -\frac{\pi}{4} + i \cdot \frac{1.099}{2} = -0.785 + 0.55i 

Итоговые ответы:

1. \sinh(1 + \frac{\pi}{2} i) \approx 1.543 i
2. \operatorname{arctg} \left( \frac{3+4i}{5} \right) \approx -0.785 + 0.55i