Вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру

Предмет: Комплексный анализ. Раздел: Интегралы в комплексной области.

Задача состоит в вычислении криволинейного интеграла по замкнутому контуру ( L ), где ( L ) задается окружностью ( |z - 1 + 2i| = 3 ). Интеграл имеет вид:

\oint_{L} \frac{e^z}{z^2 - 2z + 17} \, dz.

Решение:

1. Разложение знаменателя на множители: Рассмотрим знаменатель ( z^2 - 2z + 17 ). Найдем корни квадратного уравнения: z^2 - 2z + 17 = 0. Используем формулу для корней квадратного уравнения: z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = 17 ). Тогда: z = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-64}}{2} = \frac{2 \pm 8i}{2} = 1 \pm 4i.

   Таким образом, корни знаменателя: z_1 = 1 + 4i, \quad z_2 = 1 - 4i.

2. Положение корней относительно контура ( L ): Контур ( L ) задается окружностью ( |z - 1 + 2i| = 3 ), то есть центр окружности находится в точке ( 1 - 2i ), а радиус равен 3.

   Проверим, попадают ли корни ( z_1 = 1 + 4i ) и ( z_2 = 1 - 4i ) внутрь контура:

   • Для ( z_1 = 1 + 4i ): |z_1 - (1 - 2i)| = |(1 + 4i) - (1 - 2i)| = |6i| = 6 > 3. Корень ( z_1 ) вне контура.
   • Для ( z_2 = 1 - 4i ): |z_2 - (1 - 2i)| = |(1 - 4i) - (1 - 2i)| = |-2i| = 2 < 3. Корень ( z_2 ) внутри контура.

3. Таким образом, внутри контура ( L ) находится только один особый пункт ( z_2 = 1 - 4i ).

4. Применение теоремы Коши: Согласно теореме Коши, интеграл равен: FORMULAPLACEHOLDER где ( \text{Res}{z = z_2} ) — вычет функции в точке ( z_2 ).

5. Вычисление вычета: Вычет в точке ( z_2 = 1 - 4i ) равен: \oint_{L} \frac{e^z}{(z - z_1)(z - z_2)} \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{z = z_2}, Подставляем значения:

   • ( z_2 = 1 - 4i ),
   • ( z_1 = 1 + 4i ),
   • ( z_2 - z_1 = (1 - 4i) - (1 + 4i) = -8i ).

6. Тогда: \text{Res}_{z = z_2} = \lim_{z \to z_2} \frac{e^z}{z - z_1} = \frac{e^{z_2}}{z_2 - z_1}.

   Разделим на ( -8i ): \text{Res}_{z = z_2} = \frac{e^{1 - 4i}}{-8i} = \frac{e \cdot e^{-4i}}{-8i} = \frac{e (\cos(-4) + i \sin(-4))}{-8i} = \frac{e (\cos(4) - i \sin(4))}{-8i}.

7. Подстановка в формулу для интеграла: Подставляем вычет в формулу: \text{Res}_{z = z_2} = \frac{e \cos(4)}{-8i} - \frac{e \sin(4)}{-8i^2} = \frac{-e \cos(4)}{8i} + \frac{e \sin(4)}{8} = \frac{e \sin(4)}{8} - i \frac{e \cos(4)}{8}.

   Умножаем: \oint_{L} \frac{e^z}{z^2 - 2z + 17} \, dz = 2\pi i \cdot \left( \frac{e \sin(4)}{8} - i \frac{e \cos(4)}{8} \right).

Ответ:

\oint_{L} \frac{e^z}{z^2 - 2z + 17} \, dz = \frac{\pi e}{4} \left[ i \sin(4) + \cos(4) \right].