Вычисление криволинейного интеграла комплексной функции вдоль замкнутого контура

Предмет: Математика

Раздел: Комплексный анализ (вычисление криволинейных интегралов)

Задание требует вычисления криволинейного интеграла комплексной функции вдоль замкнутого контура. Контур представляет собой треугольник с вершинами в точках 0, 1 и i, обход против часовой стрелки.

Основная идея состоит в использовании "Теоремы Коши о вычетах", но для этого необходимо применение основного понятия аналитичности функций. Функция, подынтегральная функция z̅ не является аналитической (голоморфной) в области, которая включает контур треугольника. Таким образом, мы не можем напрямую применить теорему Коши, и нужно использовать другие методы.

Рассмотрим следующее:

1. Выразим z̅ через действительные и мнимые части: пусть z = x + yi, тогда z̅ = x - yi.
2. Вычислим интеграл отдельно на каждом отрезке контура, используя параметризацию.

Параметризация отрезков:

1. От 0 до 1: z(t) = t, где t изменяется от 0 до 1; z̅ = t; dz = dt
2. От 1 до i: z(t) = 1 + (i-1)t, где t изменяется от 0 до 1; z̅ = 1 - (1+i)t; dz = (i-1)dt
3. От i до 0: z(t) = i - it, где t изменяется от 0 до 1; z̅ = -it; dz = -idt

Теперь вычислим каждый интеграл:

1. ∫_0^1 t dt = [t^2/2]_0^1 = 1/2
2. ∫_0^1 (1 - (1+i)t)(i-1) dt
   Расчёты:
   • ∫ (i-1) dt = [t(i-1)]_0^1 = i-1
   • ∫ -(1+i)t(i-1) dt = (развернув) = (1+i)(i-1)∫ t dt = -2∫ t dt = [-t^2]_0^1 = -1
   Итог: i - 1 - 1 = i - 2
3. ∫_0^1 -it (-i) dt = ∫_0^1 t dt = 1/2

Суммируем результаты:

= 1/2 + (i - 2) + 1/2 = i - 1

Таким образом, интеграл равен i - 1.