Вычисление интегралов по замкнутому контуру (интегралы Коши)

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Вычисление интегралов по замкнутому контуру (интегралы Коши)

Необходимо вычислить следующий интеграл:

 \oint_L \frac{z}{(z+1)^3 (z-1)} dz, \quad \text{где } L: |z + 1| = 1.5 

Решение:

1. Анализ особенностей подынтегральной функции:

Подынтегральная функция:  f(z) = \frac{z}{(z+1)^3 (z-1)} 

Особенности функции:

• Полюс порядка 3 в точке z = -1.
• Полюс первого порядка в точке z = 1.

Контур L задается условием |z + 1| = 1.5, то есть это окружность с центром в точке z = -1 и радиусом 1.5.

Таким образом:

• Точка z = -1 лежит внутри контура.
• Точка z = 1 лежит вне контура.

2. Упрощение с учетом теоремы Коши:

Поскольку точка z = 1 лежит вне контура, она не влияет на интеграл. Следовательно, будем рассматривать только полюс в точке z = -1.

3. Вычисление вычета в точке z = -1:

Для полюса порядка 3 вычет вычисляется по формуле:  \text{Res}(f, z = -1) = \frac{1}{2!} \lim_{z \to -1} \frac{d^2}{dz^2} \left[ (z + 1)^3 f(z) \right]. 

Подставим f(z):  (z + 1)^3 f(z) = \frac{z}{z - 1}. 

Берем вторую производную:  \frac{d}{dz} \left( \frac{z}{z - 1} \right) = \frac{(z - 1) - z}{(z - 1)^2} = \frac{-1}{(z - 1)^2}. 

Вторая производная:  \frac{d^2}{dz^2} \left( \frac{z}{z - 1} \right) = \frac{2}{(z - 1)^3}. 

Подставляем z = -1:  \text{Res}(f, z = -1) = \frac{1}{2!} \cdot \frac{2}{((-1) - 1)^3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{(-2)^3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{-8} = -\frac{1}{8}. 

4. Применение теоремы Коши о вычетах:

Интеграл равен 2\pi i, умноженному на вычет:  \oint_L f(z) dz = 2\pi i \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi i}{4}. 

Ответ:

 \oint_L \frac{z}{(z+1)^3 (z-1)} dz = -\frac{\pi i}{4}.