Вычисление интегралов по замкнутому контуру

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Вычисление интегралов по замкнутому контуру

Нужно вычислить комплексный интеграл
\oint_L \frac{z^2}{z^2 + 9} \, dz,
где контур L задан уравнением |z + 2i| = 2 (окружность с центром в точке -2i и радиусом 2).

Шаг 1. Разложение знаменателя

Знаменатель z^2 + 9 можно разложить на множители:
z^2 + 9 = (z - 3i)(z + 3i).

Шаг 2. Определение особых точек

Особые точки функции \frac{z^2}{z^2 + 9} — это корни знаменателя:
z = 3i и z = -3i.

Контур L — окружность с центром -2i и радиусом 2.

• Точка z = 3i находится вне контура, так как |3i + 2i| = 5 > 2.
• Точка z = -3i находится внутри контура, так как |-3i + 2i| = 1 < 2.

Таким образом, в пределах контура L единственная особая точка — z = -3i.

Шаг 3. Вычисление вычета в точке z = -3i

Функция \frac{z^2}{z^2 + 9} представляется в виде:
\frac{z^2}{z^2 + 9} = \frac{z^2}{(z - 3i)(z + 3i)}.

Чтобы найти вычет в точке z = -3i, используем формулу:
\text{Res}\left(\frac{z^2}{z^2 + 9}, z = -3i\right) = \lim_{z \to -3i} (z + 3i) \cdot \frac{z^2}{(z - 3i)(z + 3i)}.

Упростим:
\text{Res} = \lim_{z \to -3i} \frac{z^2}{z - 3i} = \frac{(-3i)^2}{-3i - 3i} = \frac{-9}{-6i} = \frac{3i}{2}.

Шаг 4. Применение теоремы о вычетах

По теореме о вычетах:
\oint_L \frac{z^2}{z^2 + 9} \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}\left(\frac{z^2}{z^2 + 9}, z = -3i\right).

Подставим найденный вычет:
\oint_L \frac{z^2}{z^2 + 9} \, dz = 2\pi i \cdot \frac{3i}{2} = -3\pi.

Ответ:

\oint_L \frac{z^2}{z^2 + 9} \, dz = -3\pi.