Вычисление интеграла по замкнутому контуру в комплексной плоскости

Предмет: Математика

Раздел: Комплексный анализ

Дано вычисление интеграла по замкнутому контуру в комплексной плоскости. Контур ( C ) представляет собой окружность радиуса 2, описанную в положительном направлении (против часовой стрелки). Функция в подынтегральном выражении содержит логарифм ( \ln(z) ), для которого задано, что ( \ln(1) = 2\pi i ).

Интеграл имеет вид:

 \int_C z^2 \ln(z) \, dz, \quad C : |z| = 2, \quad \ln(1) = 2\pi i. 

Решение:

Для вычисления данного интеграла воспользуемся теоремой Коши о вычетах.

1. Разложение подынтегральной функции

Подынтегральная функция имеет вид:  f(z) = z^2 \ln(z). 

2. Поведение функции ( \ln(z) )

Функция ( \ln(z) ) в комплексной плоскости имеет ветви, и в данном случае мы используем ветвь, в которой ( \ln(1) = 2\pi i ). Это означает, что функция ( \ln(z) ) на контуре ( C ) непрерывна.

3. Применение теоремы Коши

Согласно теореме Коши, если функция аналитична внутри и на замкнутом контуре ( C ), то интеграл от неё равен нулю. Однако функция ( \ln(z) ) не аналитична в точке ( z = 0 ), так как имеет там ветвь разреза. Следовательно, нужно вычислить вычет в точке ( z = 0 ).

4. Разложение в ряд Лорана

Функция ( f(z) = z^2 \ln(z) ) на контуре ( C ) может быть разложена в ряд Лорана. Однако заметим, что ( z^2 ) обнуляет все члены ряда Лорана, кроме главного вычета. Поэтому достаточно рассмотреть главный член разложения.

5. Вычисление вычета

Для функции ( z^2 \ln(z) ), домноженной на ( 1/z ), вычет равен коэффициенту при ( 1/z ) в разложении:  \text{Res}(f(z), 0) = \lim_{z \to 0} z \cdot z^2 \ln(z) = \lim_{z \to 0} z^3 \ln(z). 

Однако, так как ( \ln(z) ) стремится к минус бесконечности при ( z \to 0 ), данный вычет равен нулю.

6. Итог

Интеграл по замкнутому контуру:  \int_C z^2 \ln(z) \, dz = 0. 

Ответ:

 \int_C z^2 \ln(z) \, dz = 0.