Вычисление интеграла по произвольной линии, соединяющей точки

Предмет: Математика

Раздел: Комплексный анализ (интегралы от комплексных функций)

Для вычисления интеграла по произвольной линии, соединяющей точки, можно использовать теорему Коши о пути, если функция аналитична. Однако наша функция \((2 - 3z) \cos 2z\) не является аналитической, и поэтому нужно найти другой способ.

Параметризуем путь от \(z_1 = -1\) до \(z_2 = 2 - 2i\). Используем параметризацию прямой линии: \(z(t) = (1-t)(-1) + t(2 - 2i) = -1 + t(3 - 2i)\), где \(t\) изменяется от 0 до 1. Тогда: \(dz = (3 - 2i)dt\).

Подставим это в интеграл:

\[ \int_{L} (2 - 3z) \cos 2z \, dz = \int_{0}^{1} (2 - 3(-1 + t(3 - 2i))) \cos(2(-1 + t(3 - 2i))) \cdot (3 - 2i) \, dt \]

Сначала упростим выражение \(2 - 3(-1 + t(3 - 2i))\):

\(2 + 3 - 9t + 6it = 5 - 9t + 6it\).

Выразим \(\cos(2(-1 + t(3 - 2i)))\):

\(\cos(-2 + 6t - 4it)\).

Теперь подставьте это:

\[ \int_{0}^{1} (5 - 9t + 6it) \cos(-2 + 6t - 4it) (3 - 2i) \, dt \]

Ручное вычисление этого интеграла может быть трудоемким без дополнительных упрощений. Однако, общая процедура состоит в упрощении выражений и вычислении комплексных тригонометрических функций. На практике такое выражение проще вычислить с помощью численных методов или специального программного обеспечения.

Таким образом, ручной расчет может быть использован для частного случая, либо иного упрощения через заданные условия.