Вычет и вычисление интегралов с помощью вычетов (интегралы по замкнутому контуру в комплексной плоскости)

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Вычет и вычисление интегралов с помощью вычетов (интегралы по замкнутому контуру в комплексной плоскости)

Задание 5:
Вычислить интеграл с помощью вычетов:

 \int_C \frac{\cos \pi z}{128z^7 - 1} \, dz, 

где контур C задается в двух вариантах:

5.1. C: |z| < 1
5.2. C: |z + \frac{1}{2}| > 0.01

Шаг 1: Анализ знаменателя

Рассмотрим знаменатель:

128z^7 - 1 = 0 \Rightarrow z^7 = \frac{1}{128} = 2^{-7}

Решения этого уравнения — это 7 корней седьмой степени из \frac{1}{128}:

 z_k = \left( \frac{1}{128} \right)^{1/7} \cdot e^{2\pi i k/7}, \quad k = 0, 1, \dots, 6 

Обозначим r = \left( \frac{1}{128} \right)^{1/7} = 2^{-1} = \frac{1}{2}
(так как 128 = 2^7)

Итак, все 7 корней имеют модуль \frac{1}{2} и равномерно расположены на окружности радиуса \frac{1}{2}.

Задача 5.1: Контур |z| < 1

Окружность радиуса 1 содержит все корни z_k (так как их модуль \frac{1}{2} < 1), значит, все 7 особых точек (простые полюса) находятся внутри контура.

Шаг 2: Вычисление вычетов

Рассматриваем функцию:

 f(z) = \frac{\cos \pi z}{128z^7 - 1} 

Полюса — простые, так как знаменатель имеет вид (z - z_k) в окрестности каждого корня.

Для простого полюса z_k вычет вычисляется по формуле:

 \text{Res}_{z=z_k} f(z) = \frac{\cos \pi z_k}{(128z^7)'|_{z=z_k}} = \frac{\cos \pi z_k}{896 z_k^6} 

Так как (128z^7)' = 896z^6

Шаг 3: Применим теорему Коши о вычетах

 \int_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=0}^6 \text{Res}_{z=z_k} f(z) = 2\pi i \sum_{k=0}^6 \frac{\cos \pi z_k}{896 z_k^6} 

Задача 5.2: Контур |z + \frac{1}{2}| > 0.01

Это окружность радиуса 0.01 вокруг точки z = -\frac{1}{2}.
Нужно проверить, не попадает ли один из корней в этот контур.

Ранее мы нашли, что все z_k лежат на окружности |z| = \frac{1}{2}.
Точка z = -\frac{1}{2} тоже лежит на этой окружности.

Следовательно, один из корней (а именно z = -\frac{1}{2}) — это решение уравнения, и лежит в центре этой маленькой окружности.

Так как радиус очень маленький (0.01), то, скорее всего, только один корень z_k = -\frac{1}{2} попадает внутрь.

Вывод:

5.1 Ответ:  \int_C \frac{\cos \pi z}{128z^7 - 1} \, dz = 2\pi i \sum_{k=0}^{6} \frac{\cos \pi z_k}{896 z_k^6} 

где z_k = \frac{1}{2} e^{2\pi i k/7}

5.2 Ответ: Если внутри контура только один корень z_0 = -\frac{1}{2}, то:

 \int_C \frac{\cos \pi z}{128z^7 - 1} \, dz = 2\pi i \cdot \frac{\cos(-\frac{\pi}{2})}{896 \cdot (-\frac{1}{2})^6} = 2\pi i \cdot \frac{0}{896 \cdot \frac{1}{64}} = 0 

Так как \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0

Итог:

• 5.1: Интеграл равен сумме семи вычетов, выраженной через z_k.
• 5.2: Интеграл равен нулю, так как вычет в единственной точке равен нулю.