В декартовой системе координат сделать рисунокконтура интегрирования

Данное задание относится к предмету "Комплексный анализ", раздел "Комплексные интегралы". Для вычисления данного интеграла нам необходимо разобраться с контуром интегрирования и самим интегралом.

Задан контур \( L \) с условием |\text{Im} z| \leq 1. Это обозначает полосу, параллельную оси \( x \) в комплексной плоскости, где мнимая часть \( z \) изменяется от \(-1\) до \(1\). Интеграл задан как:

\[ \int_L z \, \text{Im}(z^2) \, dz \]

Разберем сам интеграл:

1. Рассчитаем \(\text{Im}(z^2)\):
   Пусть \( z = x + iy \), где \( x, y \) — действительная и мнимая части \( z \). Тогда:

   \[ z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi \]

   Отсюда, \(\text{Im}(z^2) = 2xy\).
2. Запишем интеграл с учетом найденного:
   

   \[ \int_L z \cdot 2xy \, dz = \int_L (x + iy) \cdot 2xy \, dz \]

   Разложим его:

   \[ = \int_L (2x^2y \, dz + 2xy^2i \, dz) \]

   Теперь необходимо выбрать конкретный контур внутри полосы |\text{Im} z| \leq 1 для вычисления интеграла. Например, можно взять горизонтальный отрезок, начать с точки \( z_0 = 1 - i \) и завершить другим горизонтальным отрезком на границе полосы. Это обход замкнутого контура.
3. Вычисление интеграла:
   Интегрируем отдельно по горизонтальным отрезкам \( L_1 \) (при \( y = -1 \)) и \( L_2 \) (при \( y = 1 \)):

   \[ \int_{L_1} (x - i)^2y \, dx + \int_{L_2} (x + i)^2y \, dx \]

   При \( y = -1 \) и \( y = 1 \), проводим аналогичные расчеты, подставляя соответствующие значения.

Рисунок:

Построим контур интегрирования вдоль полосы. Полоса от \(-1\) до \(1\) параллельна оси \( x \). Сделав такое упрощение, подробно рассчитать интеграл можно, наблюдая за симметрией функции и применяя свойства конечных интегралов вдоль замкнутых контуров в комплексной области.

Важно при этом учесть, что для полноценных вычислений необходимо знание дополнительных условий и характеристик функции и контуров, влияющих на значение интеграла в комплексной области.