Решить интеграл где ( C ) - граница полуокружности, изображённой на рисунке

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Интегрирование функций комплексного переменного

Дано: Вычислить интеграл

\int_C \frac{z}{z} dz,

где ( C ) — граница полуокружности, изображённой на рисунке.

Решение:

Функция под интегралом:

\frac{z}{z} = 1 (при ( z \neq 0 )).

Таким образом, интеграл принимает вид:

I = \int_C 1 \, dz.

Замечание о геометрии контура:

Контур ( C ) состоит из двух частей:

1. Верхней полуокружности радиуса ( R = 2 ), проходящей от точки ( -2 ) до ( 2 ) против часовой стрелки.
2. Отрезка прямой от ( 2 ) до ( -2 ) (по оси ( x )).

Вычисление интеграла по каждой части:

1. Интеграл по полуокружности:

На полуокружности ( dz = e^{i\theta} i d\theta ), где ( \theta \in [0, \pi] ).
Подстановка в интеграл:

 I_1 = \int_0^\pi 1 \cdot i e^{i\theta} d\theta = i \int_0^\pi e^{i\theta} d\theta. 

Рассмотрим e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta. Тогда:

 I_1 = i \int_0^\pi (\cos\theta + i\sin\theta) d\theta = i \left( \int_0^\pi \cos\theta d\theta + i \int_0^\pi \sin\theta d\theta \right). 

Вычислим отдельно оба интеграла:

1. \int_0^\pi \cos\theta d\theta = \sin\theta \big|_0^\pi = \sin\pi - \sin 0 = 0.
2. \int_0^\pi \sin\theta d\theta = -\cos\theta \big|_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 2.

Подставляем:

 I_1 = i \left( 0 + i \cdot 2 \right) = -2. 

2. Интеграл по отрезку:

На отрезке ( dz = dx ), где ( x \in [2, -2] ). Поскольку подынтегральное выражение равно ( 1 ):

 I_2 = \int_{2}^{-2} 1 \, dx = x \big|_2^{-2} = -2 - 2 = -4. 

Итоговый результат:

Суммируем результаты:

 I = I_1 + I_2 = -2 - 4 = -6. 

Ответ: I = -6.