Разложите функцию в ряд Лорана

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Ряды Лорана

Нам нужно разложить функцию f(z) = z^2 e^{\frac{3}{z}} в ряд Лорана и определить характер особой точки z = 0.

Шаг 1. Представление экспоненты в ряде Тейлора

Для начала вспомним разложение экспоненты в ряд Тейлора:  e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}. 

В данном случае x = \frac{3}{z}, поэтому:  e^{\frac{3}{z}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(\frac{3}{z}\right)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!} \cdot z^{-n}. 

Шаг 2. Умножение на z^2

Теперь умножим полученное разложение на z^2:  f(z) = z^2 \cdot e^{\frac{3}{z}} = z^2 \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!} \cdot z^{-n}. 

Распределим z^2:  f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!} \cdot z^{2-n}. 

Шаг 3. Разложение в ряд Лорана

Полученное разложение:  f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!} \cdot z^{2-n}. 

Это и есть ряд Лорана функции f(z). Заметим, что ряд содержит как положительные, так и отрицательные степени z, что характерно для ряда Лорана.

Шаг 4. Определение характера особой точки z = 0

Особая точка z = 0 является существенной особенностью, так как в разложении ряда присутствует бесконечное число отрицательных степеней z. Это следует из природы экспоненты e^{\frac{3}{z}}, которая ведёт к бесконечным отрицательным степеням.

Ответ:

1. Ряд Лорана функции:  f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!} \cdot z^{2-n}. 
2. Характер особой точки z = 0: существенная особенность.