Разложить функцию в ряд Лорана. Определить характер особой точки

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Ряды Лорана и особые точки

Задача:

Разложить функцию

f(z) = \frac{1 - e^{-3z}}{z^3}

в ряд Лорана и определить характер особой точки в z = 0.

Решение:

1. Разложим экспоненту в ряд Тейлора:

Функция e^{-3z} раскладывается в ряд Тейлора следующим образом:

e^{-3z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3z)^n}{n!} = 1 - 3z + \frac{(3z)^2}{2!} - \frac{(3z)^3}{3!} + \dots

Подставим это разложение в выражение для f(z):

f(z) = \frac{1 - e^{-3z}}{z^3} = \frac{1 - \left(1 - 3z + \frac{(3z)^2}{2!} - \frac{(3z)^3}{3!} + \dots \right)}{z^3}

2. Упростим числитель:

1 - e^{-3z} = 3z - \frac{(3z)^2}{2!} + \frac{(3z)^3}{3!} - \dots

Таким образом:

f(z) = \frac{3z - \frac{(3z)^2}{2!} + \frac{(3z)^3}{3!} - \dots}{z^3}

Разделим каждый член числителя на z^3:

f(z) = \frac{3z}{z^3} - \frac{\frac{(3z)^2}{2!}}{z^3} + \frac{\frac{(3z)^3}{3!}}{z^3} - \dots

f(z) = \frac{3}{z^2} - \frac{\frac{9z}{2}}{z^3} + \frac{\frac{27z^2}{6}}{z^3} - \dots

f(z) = \frac{3}{z^2} - \frac{9}{2z} + \frac{27}{6} - \dots

3. Запишем ряд Лорана:

Разложение функции f(z) в ряд Лорана:

f(z) = \frac{3}{z^2} - \frac{9}{2z} + \frac{27}{6} - \dots

4. Определим характер особой точки z = 0:

В разложении присутствуют члены с отрицательными степенями z, следовательно, точка z = 0 является полюсом. Степень полюса определяется наибольшей отрицательной степенью z, которая равна -2.

Таким образом, точка z = 0 — это полюс второго порядка.

Ответ:

1. Разложение функции в ряд Лорана: f(z) = \frac{3}{z^2} - \frac{9}{2z} + \frac{27}{6} - \dots

2. Характер особой точки:
   z = 0 — полюс второго порядка.