Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки и определить характер особой точки в этой точке

Предмет: Комплексный анализ

Раздел предмета: Ряды Лорана и классификация особых точек

Нам нужно разложить функцию f(z) = z^3 \sin\left(\frac{1}{z^2}\right) в ряд Лорана в окрестности точки z = 0 и определить характер особой точки в этой точке.

Шаг 1. Представление синуса в виде ряда Тейлора

Сначала вспомним разложение синуса в ряд Тейлора:  \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \end{formula> Теперь подставим x = \frac{1}{z^2} в это разложение:  \sin\left(\frac{1}{z^2}\right) = \frac{1}{z^2} - \frac{\left(\frac{1}{z^2}\right)^3}{3!} + \frac{\left(\frac{1}{z^2}\right)^5}{5!} - \frac{\left(\frac{1}{z^2}\right)^7}{7!} + \cdots \end{formula> Упростим каждое слагаемое: \sin\left(\frac{1}{z^2}\right) = \frac{1}{z^2} - \frac{1}{3! z^6} + \frac{1}{5! z^{10}} - \frac{1}{7! z^{14}} + \cdots \end{formula> --- #### Шаг 2. Умножение на z^3 Теперь умножим разложение \sin\left(\frac{1}{z^2}\right) на z^3, чтобы получить разложение для f(z):  f(z) = z^3 \sin\left(\frac{1}{z^2}\right) \end{formula} Подставим разложение: f(z) = z^3 \left(\frac{1}{z^2} - \frac{1}{3! z^6} + \frac{1}{5! z^{10}} - \frac{1}{7! z^{14}} + \cdots\right) \end{formula} Умножим каждое слагаемое на z^3:  f(z) = z^3 \cdot \frac{1}{z^2} - z^3 \cdot \frac{1}{3! z^6} + z^3 \cdot \frac{1}{5! z^{10}} - z^3 \cdot \frac{1}{7! z^{14}} + \cdots \end{formula} Упростим степени: f(z) = z - \frac{1}{3! z^3} + \frac{1}{5! z^7} - \frac{1}{7! z^{11}} + \cdots \end{formula> --- #### Шаг 3. Ряд Лорана Итак, ряд Лорана функции f(z) имеет вид:  f(z) = z - \frac{1}{6 z^3} + \frac{1}{120 z^7} - \frac{1}{5040 z^{11}} + \cdots \end{formula> Этот ряд содержит как положительные, так и отрицательные степени z, что соответствует разложению в ряд Лорана.

Шаг 4. Характер особой точки z = 0

Особая точка z = 0 является существенной особенностью, так как в ряде Лорана присутствует бесконечное количество отрицательных степеней z.

Ответ:

1. Ряд Лорана функции:  f(z) = z - \frac{1}{6 z^3} + \frac{1}{120 z^7} - \frac{1}{5040 z^{11}} + \cdots 
2. Характер особой точки z = 0: существенная особенность.