Разложить функцию в ряд Лорана в кольце

Задача: Разложить функцию \( f(z) = \frac{z}{(z-2)^2} \) в ряд Лорана в кольце \( 2 < |z| < \infty \).

Относится к: Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Ряды Лорана и Кольца сходимости

Шаг 1: Представление функции удобным образом

Дано выражение: \[ f(z) = \frac{z}{(z-2)^2} \]
Нужно разложить это в ряд Лорана в кольце \( 2 < |z| < \infty \).
Для упрощения решения, сначала выразим функцию в форме, удобной для применения ряда Лорана.
Поделим \( z \) в числителе следующим образом:
\[ f(z) = \frac{z-2 + 2}{(z-2)^2} = \frac{z-2}{(z-2)^2} + \frac{2}{(z-2)^2} \]
\[ f(z) = \frac{1}{z-2} + \frac{2}{(z-2)^2} \]
Теперь каждый член этого выражения нужно разложить в ряд Лорана в кольце \( 2 < |z| < \infty \).

Шаг 2: Преобразование для разложения

Для того чтобы разложить оба слагаемых, можно ввести следующее преобразование. Нам нужно разложить функцию по малому значению \( \frac{2}{z} \) в кольце \( 2 < |z| \), что удобно сделать заменой \( z \) на \( z = z - 2 \).
Пусть \( u = \frac{2}{z} \), тогда:
\[ \frac{1}{z-2} = \frac{1}{z(1 - \frac{2}{z})} \].