Разложить функцию в ряд лорана

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Ряды Лорана и особые точки

Дана функция f(z) = z^2 \cos\left(\frac{1}{z}\right). Требуется разложить её в ряд Лорана и определить характер особой точки z = 0.

Шаг 1. Разложение косинуса в ряд Тейлора

Напомним разложение косинуса в ряд Тейлора:  \cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}. 

Заменим x = \frac{1}{z}:  \cos\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \cdot \frac{1}{z^{2n}}. 

Шаг 2. Умножение на z^2

Теперь умножим разложение на z^2:  f(z) = z^2 \cos\left(\frac{1}{z}\right) = z^2 \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \cdot \frac{1}{z^{2n}}. 

Распределим z^2:  f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \cdot z^{2 - 2n}. 

Шаг 3. Формат ряда Лорана

Ряд Лорана для f(z) имеет вид:  f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n z^n,  где члены с отрицательными степенями z соответствуют главной части ряда.

В данном случае:  f(z) = \frac{1}{z^2} - \frac{1}{2!z^4} + \frac{1}{4!z^6} - \dots + z^2 - \frac{1}{2!}z^0 + \dots 

Шаг 4. Характер особой точки z = 0

В точке z = 0 функция имеет бесконечное число членов с отрицательными степенями z. Это указывает на то, что z = 0 является существенной особой точкой.

Ответ:

1. Разложение функции в ряд Лорана:  f(z) = \frac{1}{z^2} - \frac{1}{2!z^4} + \frac{1}{4!z^6} - \dots + z^2 - \frac{1}{2!}z^0 + \dots 
2. Характер особой точки z = 0: существенная особая точка.