Разложении функции в ряд Лорана и определении характера особой точки

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Ряды Лорана

Задача состоит в разложении функции f(z) = \frac{1 - \cos\frac{z}{2}}{z^6} в ряд Лорана и определении характера особой точки в z = 0.

Разложение функции в ряд Лорана

1. Разложим числитель 1 - \cos\frac{z}{2}:

   Известно, что разложение косинуса в ряд Тейлора имеет вид: \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots.

   Подставим x = \frac{z}{2}:  \cos\frac{z}{2} = 1 - \frac{\left(\frac{z}{2}\right)^2}{2!} + \frac{\left(\frac{z}{2}\right)^4}{4!} - \dots = 1 - \frac{z^2}{8} + \frac{z^4}{384} - \dots .

   Тогда:  1 - \cos\frac{z}{2} = 1 - \left(1 - \frac{z^2}{8} + \frac{z^4}{384} - \dots\right) = \frac{z^2}{8} - \frac{z^4}{384} + \dots .

2. Поделим числитель на z^6:

   Подставим разложение числителя в функцию f(z):  f(z) = \frac{\frac{z^2}{8} - \frac{z^4}{384} + \dots}{z^6} = \frac{z^2}{8z^6} - \frac{z^4}{384z^6} + \dots = \frac{1}{8z^4} - \frac{1}{384z^2} + \dots .

   Таким образом, разложение функции f(z) в ряд Лорана имеет вид:  f(z) = \frac{1}{8z^4} - \frac{1}{384z^2} + \dots .

Определение характера особой точки z = 0

В разложении функции присутствуют члены с отрицательными степенями z, что указывает на наличие существенной особенности в точке z = 0. Однако, поскольку число таких членов конечно, точка z = 0 является полюсом.

Максимальная степень отрицательной степени z равна -4, следовательно, точка z = 0 является полюсом 4-го порядка.

Ответ:

1. Разложение функции в ряд Лорана: f(z) = \frac{1}{8z^4} - \frac{1}{384z^2} + \dots.
2. Характер особой точки z = 0: полюс 4-го порядка.