Разложение в ряд Лорана

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Разложение в ряд Лорана

Разложим функцию f(z) = z e^{\frac{z}{(z - 3i)^2}} в ряд Лорана в окрестности точки z_0 = 3i.

1. Подготовка выражения к разложению

Заменим w = z - 3i, тогда z = w + 3i, и функция принимает вид:

 f(z) = (w + 3i) e^{\frac{w + 3i}{w^2}}. 

Разложим показательную функцию в ряд Тейлора:

 e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}. 

Подставим x = \frac{w + 3i}{w^2}:

 e^{\frac{w + 3i}{w^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(w + 3i)^n}{n! w^{2n}}. 

2. Умножение на (w + 3i)

Теперь домножим на (w + 3i):

 f(z) = (w + 3i) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(w + 3i)^n}{n! w^{2n}}. 

Разложим (w + 3i)^n по биному Ньютона:

 (w + 3i)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k w^k (3i)^{n-k}, 

где C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} — биномиальные коэффициенты.

Подставляя это в сумму, получаем:

 f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} C_n^k w^{k+1} (3i)^{n-k} \frac{1}{n! w^{2n}}. 

3. Выделение главной части и аналитической части

Перепишем показатель степеней w:

 f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} C_n^k (3i)^{n-k} \frac{w^{k+1 - 2n}}{n!}. 

Чтобы получить разложение в ряд Лорана, выделяем члены с отрицательными степенями w (главная часть) и с неотрицательными (аналитическая часть).

Таким образом, разложение в ряд Лорана будет представлять собой сумму членов с положительными и отрицательными степенями w, что можно записать в общем виде.

Если требуется более детальное разложение до определенного порядка, можно подставить конкретные значения n и раскрыть первые несколько членов.