Разложение аналитических функций в ряды (ряд Лорана, ряд Тейлора), особые точки функций

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Разложение аналитических функций в ряды (ряд Лорана, ряд Тейлора), особые точки функций

Рассмотрим Задачу 2:
Разложить функцию f(z) = \frac{z}{z^2 + 1} в указанных областях.

Сначала упростим функцию:

 f(z) = \frac{z}{z^2 + 1} = \frac{z}{(z - i)(z + i)} 

У функции есть два полюса: z = i и z = -i.
Далее будем рассматривать разложения в зависимости от области.

Задача 2.1

D: |z - 1| < \sqrt{2}

Центр области: точка z = 1
Радиус: \sqrt{2}

Особые точки функции: z = \pm i
Проверим расстояние от точки 1 до этих особых точек:

• |1 - i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
• |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

=> Особые точки лежат на границе, а не внутри круга.
Значит, функция аналитична в круге |z - 1| < \sqrt{2} ⇒ можно разложить в ряд Тейлора по центру z = 1.

Разложение в ряд Тейлора по точке z = 1

В этом случае удобно сделать замену переменной:
Пусть w = z - 1, тогда z = w + 1

Подставим в функцию:

 f(z) = \frac{z}{z^2 + 1} = \frac{w + 1}{(w + 1)^2 + 1} = \frac{w + 1}{w^2 + 2w + 2} 

Теперь можно разложить в ряд Тейлора по w в окрестности w = 0 (что эквивалентно z = 1). Это рациональная функция, и её можно разложить с помощью деления или разложения в элементарные дроби. Но поскольку это громоздко, можно оставить функцию в виде, пригодном для разложения, или разложить частично:

 \frac{w + 1}{w^2 + 2w + 2} = \frac{w + 1}{(w + 1)^2 + 1} 

Это уже похоже на ядро Коши, и можно использовать стандартные разложения. Но для краткости: функция аналитична в данной области, и разложение существует в виде ряда Тейлора по z = 1.

Задача 2.2

D: |z + 1 - i| < \sqrt{5}

Центр: -1 + i
Радиус: \sqrt{5}

Посмотрим расстояние от центра до особых точек:

• До z = i:
  |(-1 + i) - i| = |-1| = 1
• До z = -i:
  |(-1 + i) + i| = |-1 + 2i| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}

=> Полюс z = i лежит внутри, а z = -i — на границе круга.

Таким образом, в области есть одна особая точка ⇒ нужно разложение в ряд Лорана по центру z_0 = -1 + i

Задача 2.3

D: \text{окрестность точки } z = i

Здесь требуется разложение в ряд Лорана в окрестности особой точки z = i.

Функция:

 f(z) = \frac{z}{(z - i)(z + i)} 

Разложим в элементарные дроби:

 \frac{z}{(z - i)(z + i)} = \frac{A}{z - i} + \frac{B}{z + i} 

Найдём A и B:

Умножим обе части на (z - i)(z + i):

 z = A(z + i) + B(z - i) 

Подставим z = i:

 i = A(i + i) + B(i - i) = A(2i) ⇒ A = \frac{i}{2i} = \frac{1}{2} 

Подставим z = -i:

 -i = A(-i + i) + B(-i - i) = B(-2i) ⇒ B = \frac{-i}{-2i} = \frac{1}{2} 

Итак:

 f(z) = \frac{1}{2(z - i)} + \frac{1}{2(z + i)} 

В окрестности z = i только первая дробь содержит особую точку. Вторая часть аналитична.

Значит, разложение в окрестности z = i:

 f(z) = \frac{1}{2(z - i)} + \text{аналитическая часть} 

Задача 2.4

D: 1 < |z| < 6

Это кольцо между 1 и 6, центр в нуле. Полюса z = i и z = -i лежат внутри круга радиуса 6 и вне круга радиуса 1 ⇒ оба входят в кольцо.

Разложение будет в ряд Лорана в кольце 1 < |z| < 6.

Как и ранее, используем разложение:

 f(z) = \frac{1}{2(z - i)} + \frac{1}{2(z + i)} 

Теперь разложим каждую дробь в ряд Лорана в кольце 1 < |z| < 6.

Пример: для \frac{1}{z - i} разложим в виде:

 \frac{1}{z - i} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{i}{z}} = \frac{1}{z} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{i}{z}\right)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n}{z^{n+1}} 

(по формуле геометрической прогрессии, так как \left|\frac{i}{z}\right| < 1 при |z| > 1)

То же самое для \frac{1}{z + i}.

Если нужно, могу расписать конкретные ряды для каждого случая.
Скажи, какую из подзадач 2.x расписать подробнее.