Работа с методами вычисления интегралов, включая применение вычетов

Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Комплексный анализ", конкретно работа с методами вычисления интегралов, включая применение вычетов.

Для вычисления несобственного интеграла с помощью вычета, сначала представим интеграл в комплексной форме:

1. Заменим переменную \( x \) на \( z \), где \( z \) комплексное, и функцию \( \cos x \) выразим через комплексную экспоненту: \( \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \).
2. Рассмотрим интеграл для функции: \( f(z) = \frac{z^2 e^{iz}}{(z^2 + 1)^2} \).
3. Нам необходимо рассмотреть интеграл по вещественной оси от 0 до \(\infty\). Однако, применять теорему о вычетах удобно на замкнутом контуре в комплексной плоскости, который включает в себя вещественную ось и полукружие радиуса \( R \) в верхней полуплоскости.
4. Выясним, где расположены особые точки функции \( f(z) \):

   Особые точки этой функции — это нули знаменателя: \( z^2 + 1 = 0 \), то есть \( z = i \) и \( z = -i \). Учитываем только $z=i$, так как он расположен в верхней полуплоскости.

5. Поскольку данный полюс второго порядка, необходимо найти вычет в этой точке. Для полюса порядка \( m \) мы используем: \( \text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} \frac{1}{(m-1)!} \left(\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} ((z-i)^m f(z))\right) \).
6. Применим это к нашей функции:

   Для \( (z-i)^2 f(z) = \frac{(z-i)^2 z^2 e^{iz}}{(z+i)^2} \), когда берём производную:

   \[ f'(z) = e^{iz} \left(2z^2 - \frac{2z(z^2 - i^2)}{z^2 + 1} + i z\right) \]

7. Ищем предел при \( z \to i \), оставив самое значительное:

   \[ \text{Res}(f, i) = \frac{d}{dz}\left(\frac{z^2 e^{iz}}{(z+i)^2}\right)\bigg|_{z=i} \]

8. Вычисленный вычет затем даёт значение интеграла через: \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 2\pi i \times \text{Res}(f, i) \), а конечное значение интеграла даётся как вещественная часть этого результата.

Это базовый план решения. Точные вычисления требуют аккуратного обращения с производными и пределами. Определённый результат интеграла в данном контексте зависит от выполнения вычислений, однако общий подход к проблеме должен быть ясен из этого плана.