Проверка, может ли заданная функция быть мнимой частью аналитической функции

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Аналитические функции

Задание требует проверки, может ли заданная функция ( v(x, y) = 3x^2y + 6xy - 6y - y^3 ) быть мнимой частью аналитической функции ( f(z) ), и если да, то найти эту функцию ( f(z) ).

Теоретическая основа:

Аналитическая функция ( f(z) ) в комплексном анализе имеет вид: f(z) = u(x, y) + i v(x, y),
где ( u(x, y) ) — действительная часть, а ( v(x, y) ) — мнимая часть.

Для того чтобы ( f(z) ) была аналитической, её действительная и мнимая части должны удовлетворять условиям Коши-Римана:  \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. 

Кроме того, функция ( v(x, y) ) должна быть непрерывно дифференцируема.

Шаг 1. Проверим условия Коши-Римана

Дана функция: v(x, y) = 3x^2y + 6xy - 6y - y^3.

Найдём её частные производные:

1. Частная производная по ( x ):  \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y + 6xy - 6y - y^3) = 6xy + 6y. 

2. Частная производная по ( y ):  \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y + 6xy - 6y - y^3) = 3x^2 + 6x - 6 - 3y^2. 

Теперь обозначим ( u(x, y) ) как действительную часть аналитической функции ( f(z) ). Тогда из условий Коши-Римана:  \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. 

Из первого условия:  \frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 + 6x - 6 - 3y^2. 

Из второго условия:  \frac{\partial u}{\partial y} = -(6xy + 6y) = -6y(x + 1). 

Шаг 2. Найдём ( u(x, y) )

Чтобы найти ( u(x, y) ), мы интегрируем частные производные ( \frac{\partial u}{\partial x} ) и ( \frac{\partial u}{\partial y} ).

1. Интегрируем ( \frac{\partial u}{\partial x} ) по ( x ):  u(x, y) = \int (3x^2 + 6x - 6 - 3y^2) \, dx = x^3 + 3x^2 - 6x - 3y^2x + C(y),  где ( C(y) ) — произвольная функция от ( y ).

2. Интегрируем ( \frac{\partial u}{\partial y} ) по ( y ):  u(x, y) = \int -6y(x + 1) \, dy = -3y^2(x + 1) + D(x),  где ( D(x) ) — произвольная функция от ( x ).

Шаг 3. Сравнение результатов

Сравнивая два выражения для ( u(x, y) ), получаем:  C(y) = -3y^2, \quad D(x) = x^3 + 3x^2 - 6x. 

Таким образом:  u(x, y) = x^3 + 3x^2 - 6x - 3y^2x - 3y^2. 

Шаг 4. Составим аналитическую функцию ( f(z) )

Теперь, зная ( u(x, y) ) и ( v(x, y) ), можем записать аналитическую функцию ( f(z) ):  f(z) = u(x, y) + i v(x, y),  где ( z = x + iy ), ( x = \text{Re}(z) ), ( y = \text{Im}(z) ).

Подставляем ( u(x, y) ) и ( v(x, y) ):  f(z) = (x^3 + 3x^2 - 6x - 3y^2x - 3y^2) + i(3x^2y + 6xy - 6y - y^3). 

Шаг 5. Представим ( f(z) ) через ( z )

Так как ( z = x + iy ), выразим ( x ) и ( y ) через ( z ):  x = \text{Re}(z), \quad y = \text{Im}(z). 

После преобразований (необходима алгебраическая работа), функция ( f(z) ) принимает вид:  f(z) = z^3 - 6z. 

Ответ:

Да, ( v(x, y) = 3x^2y + 6xy - 6y - y^3 ) может быть мнимой частью аналитической функции. Найденная функция:  f(z) = z^3 - 6z.