Определение предмета:
- Предмет: Комплексный анализ.
- Раздел: Аналитические функции. Проверка аналитичности с использованием условий Коши-Римана (Эйлера-Даламбера).
Условие задачи: Доказать, что данная функция
\( f(z) = (z - 2)^2 \)
аналитична, используя условия Коши-Римана, и найти её производную.
Шаг 1: Представление \( f(z) \) в виде действительных и мнимых частей
Сначала представим комплексное число
\( z \)
в виде
\( z = x + iy \),
где
\( x, y \) — действительная и мнимая части
\( z \) соответственно. Тогда:
\[ f(z) = (z - 2)^2 = [(x + iy) - 2]^2 = (x - 2 + iy)^2. \]
Раскроем скобки:
\[ f(z) = (x - 2)^2 + 2(x - 2)(iy) + (iy)^2. \]
Упростим выражение, учитывая, что
\( (iy)^2 = -y^2 \):
\[ f(z) = (x - 2)^2 - y^2 + i[2(x - 2)y]. \]
Теперь отделим действительную
\( u(x,y) \)
и мнимую
\( v(x,y) \)
части:
\[ u(x, y) = (x - 2)^2 - y^2, \quad v(x, y) = 2(x - 2)y. \]
Шаг 2: Проверка аналитичности с использованием условий Коши-Римана
Условия Коши-Римана гласят, что функция
\( f(z) \)
аналитична в области, если:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \]
Рассчитаем частные производные.
-
\( \frac{\partial u}{\partial x} \):
\[ u(x, y) = (x - 2)^2 - y^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial u}{\partial x} = 2(x - 2). \]
-
\( \frac{\partial v}{\partial y} \):
\[ v(x, y) = 2(x - 2)y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2(x - 2). \]
Очевидно, что
\( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \).
-
\( \frac{\partial u}{\partial y} \):
\[ u(x, y) = (x - 2)^2 - y^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y. \]
-
\( \frac{\partial v}{\partial x} \):
\[ v(x, y) = 2(x - 2)y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2y. \]
Очевидно, что
\( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \).
Так как оба условия Коши-Римана выполнены, функция
\( f(z) = (z - 2)^2 \)
аналитична.
Шаг 3: Нахождение производной \( f'(z) \)
Производная аналитической функции
\( f(z) \)
определяется как:
\[ f'(z) = \frac{d}{dz}\big[(z - 2)^2\big]. \]
Применим правило дифференцирования:
\[ f'(z) = 2(z - 2). \]
Ответ:
- Функция \( f(z) = (z - 2)^2 \) аналитична.
- Производная функции: \[ f'(z) = 2(z - 2). \]