Проверить, являются ли функции гармоническими

Это задание относится к математическому анализу, в частности, к теории функций комплексного переменного и гармоническим функциям. Чтобы проверить, является ли функция \( u(x, y) = x^2 - y^2 - x \) гармонической, нужно использовать уравнения Лапласа. Функция является гармонической, если она удовлетворяет уравнению \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. \]

Первый шаг: найдём вторые частные производные функции \( u \).

1. Первая производная по \( x \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x - 1. \]
2. Вторая производная по \( x \): \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 2. \]
3. Первая производная по \( y \): \[ \frac{\partial u}{\partial y} = -2y. \]
4. Вторая производная по \( y \): \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -2. \]

Теперь проверим условие гармоничности: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2 - 2 = 0. \]

Функция \( u(x, y) \) является гармонической.

Далее, поскольку \( u(x, y) \) гармоническая, задача состоит в том, чтобы найти сопряжённую ей гармоническую функцию \( v(x, y) \), такую, что функция \( w(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) является аналитической.

Для этого используем уравнения Коши-Римана:

• \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \]
• \[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \]

Решение уравнений Коши-Римана

1. Из первого уравнения:

   \[ 2x - 1 = \frac{\partial v}{\partial y}, \]

   \[ v(x, y) = (2x - 1)y + g(x), \]

   где \( g(x) \) — произвольная функция от \( x \).

2. Подставляем \( v(x, y) \) во второе уравнение Коши-Римана:

   \[ -2y = -\left((2x - 1) + \frac{dg}{dx}\right), \]

   \[ -2y = -(2x - 1) - \frac{dg}{dx}, \]

   \[ \frac{dg}{dx} = 0, \]

   что значит \( g(x) \) — константа.

Таким образом: \[ v(x, y) = (2x - 1)y + C, \] где \( C \) — константа.

Определение константы \( C \):

• Так как \( w(0) = 1 \), получаем:
• \[ w(0) = u(0, 0) + iv(0, 0) = 1, \]
• \[ 1 + iC = 1. \]
• Следовательно, \( C = 0 \).

Итак, аналитическая функция: \[ w(z) = (x^2 - y^2 - x) + i((2x - 1)y). \]