Проверить, является ли функция гармонической

Конечно, давайте рассмотрим предложенное задание. Сначала определим предмет и раздел предмета.

Предмет: Математика Раздел: Дифференциальные уравнения, Комплексный анализ

Проверка функции на гармоничность

Прежде всего, давайте вспомним определение гармонической функции. Функция \( v(x, y) \) является гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа:

\[\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0\]

Теперь найдем вторые частные производные функции \( v(x, y) = \cos(x)\cosh(y) - x^2 + y^2 \).

1. Найдем первую и вторую частные производные по \( x \):

\[\frac{\partial v}{\partial x} = -\sin(x)\cosh(y) - 2x\]

\[\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = -\cos(x)\cosh(y) - 2\]

2. Найдем первую и вторую частные производные по \( y \):

\[\frac{\partial v}{\partial y} = \cos(x)\sinh(y) + 2y\]

\[\frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = \cos(x)\cosh(y) + 2\]

Теперь сложим вторые частные производные:

\[\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = \big( -\cos(x)\cosh(y) - 2 \big) + \big( \cos(x)\cosh(y) + 2 \big) = 0\]

Таким образом, функция \( v(x, y) \) является гармонической, так как она удовлетворяет уравнению Лапласа.

Восстановление аналитической функции

Раз \( v(x, y) \) является вторым компонентом аналитической функции \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \), где \( z = x + iy \), то нам нужно найти \( u(x, y) \). Для этого используем уравнения Коши-Римана:

\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\]

\[\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\]

Подставим производные \( \frac{\partial v}{\partial y} \) и \( \frac{\partial v}{\partial x} \):

\[\frac{\partial u}{\partial x} = \cos(x)\sinh(y) + 2y\]

\[\frac{\partial u}{\partial y} = -\big( -\sin(x)\cosh(y) + 2x \big) = \sin(x)\cosh(y) - 2x\]

Теперь нужно найти функцию \( u(x, y) \), которая удовлетворяет этим уравнениям. Интегрируем первое уравнение по \( x \):

\[ u(x, y) = \int (\cos(x)\sinh(y) + 2y) \, dx = \sin(x)\sinh(y) + 2xy + h(y) \]

Где \( h(y) \) – произвольная функция от \( y \). Найдём её, используя второе уравнение Коши-Римана. Воспользуемся частной производной по \( y \):

\[\frac{\partial u}{\partial y} = \sinh(y)\cos(x) + 2x + h'(y) = \sin(x)\cosh(y) - 2x\]

Равенство уравнений:

\[\sinh(y)\cos(x) + 2x + h'(y) = \sin(x)\cosh(y) - 2x\]

Упростим:

\[4x + h'(y) = 0\]

\[h'(y) = -4x\]

Но это невозможно. Нет такой \( h(y) \), которая зависела бы только от \( y \). Таким образом, решение предполагает, что дополнительного члена нет.

Итоговая аналитическая функция:

\[f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = (\sin(x)\sinh(y) + 2xy) + i(\cos(x)\cosh(y) - x^2 + y^2)\]