Проверить, может ли функция быть мнимой частью аналитической функции

Предмет: Математика

Раздел: Комплексный анализ

Задание:

Проверить, может ли функция ( v(x, y) = -\cos(2x) \cdot \sinh(2y) + 3x ) быть мнимой частью аналитической функции ( f(z) ). Если да, найти ( f(z) ).

Решение:

Для того чтобы функция ( v(x, y) ) могла быть мнимой частью аналитической функции ( f(z) ), она должна удовлетворять условиям Коши-Римана. Пусть ( f(z) = u(x, y) + i v(x, y) ), где ( u(x, y) ) — действительная часть функции ( f(z) ), а ( v(x, y) ) — мнимая часть. Условия Коши-Римана имеют вид:

 \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. 

Для выполнения задания найдем частные производные ( v(x, y) ) и проверим выполнение этих условий.

1. Найдем частные производные ( v(x, y) ):

Функция ( v(x, y) = -\cos(2x) \cdot \sinh(2y) + 3x ).

Производная по ( x ):

 \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \big(-\cos(2x) \cdot \sinh(2y) + 3x \big) = -(-2\sin(2x)) \cdot \sinh(2y) + 3 = 2\sin(2x) \cdot \sinh(2y) + 3. 

Производная по ( y ):

 \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \big(-\cos(2x) \cdot \sinh(2y) + 3x \big) = -\cos(2x) \cdot 2\cosh(2y) + 0 = -2\cos(2x) \cdot \cosh(2y). 

2. Найдем производные ( u(x, y) ) через условия Коши-Римана:

Из первого условия:

 \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = -2\cos(2x) \cdot \cosh(2y). 

Из второго условия:

 \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} = -(2\sin(2x) \cdot \sinh(2y) + 3) = -2\sin(2x) \cdot \sinh(2y) - 3. 

3. Проверим совместимость условий:

Найдем ( u(x, y) ) путем интегрирования.

Интегрируем ( \frac{\partial u}{\partial x} ) по ( x ):

 u(x, y) = \int -2\cos(2x) \cdot \cosh(2y) \, dx = -\sin(2x) \cdot \cosh(2y) + C(y),  где ( C(y) ) — произвольная функция от ( y ).

Найдем ( C(y) ), используя ( \frac{\partial u}{\partial y} ):

 \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \big(-\sin(2x) \cdot \cosh(2y) + C(y) \big) = -\sin(2x) \cdot 2\sinh(2y) + C'(y). 

Сравниваем с ( \frac{\partial u}{\partial y} = -2\sin(2x) \cdot \sinh(2y) - 3 ):
 -\sin(2x) \cdot 2\sinh(2y) + C'(y) = -2\sin(2x) \cdot \sinh(2y) - 3. 

Отсюда:  C'(y) = -3 \quad \Rightarrow \quad C(y) = -3y + C_0,  где ( C_0 ) — константа.

4. Записываем ( u(x, y) ):

 u(x, y) = -\sin(2x) \cdot \cosh(2y) - 3y + C_0. 

5. Общий вид аналитической функции ( f(z) ):

 f(z) = u(x, y) + i v(x, y) = \big(-\sin(2x) \cdot \cosh(2y) - 3y + C_0 \big) + i \big(-\cos(2x) \cdot \sinh(2y) + 3x \big). 

Переходим к комплексной переменной ( z = x + iy ), используя ( x = \text{Re}(z) ), ( y = \text{Im}(z) ), а также формулы Эйлера для синуса, косинуса, гиперболических функций. После преобразований функция ( f(z) ) может быть записана в компактном виде.