Проверить, может ли функция быть действительной частью аналитической функции

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Аналитические функции

Задание: Проверить, может ли функция ( u(x, y) = e^{-y} \cos x - x ) быть действительной частью аналитической функции ( f(z) ), и, если да, найти ( f(z) ).

Для проверки, является ли ( u(x, y) ) действительной частью аналитической функции ( f(z) ), необходимо, чтобы она удовлетворяла условиям Коши-Римана. Напомним, что аналитическая функция ( f(z) ) представляется в виде: [ f(z) = u(x, y) + i v(x, y), ] где ( u(x, y) ) — действительная часть, ( v(x, y) ) — мнимая часть.

Условия Коши-Римана:

[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. ]

Шаг 1: Вычислим частные производные для ( u(x, y) )

Функция задана как: [ u(x, y) = e^{-y} \cos x - x. ]

1. Производная по ( x ): [ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{-y} \cos x - x \right) = e^{-y} (-\sin x) - 1 = -e^{-y} \sin x - 1. ]

2. Производная по ( y ): [ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( e^{-y} \cos x - x \right) = -e^{-y} \cos x. ]

Шаг 2: Найдём ( v(x, y) ) из условий Коши-Римана

Для выполнения условий Коши-Римана:

1. Из первого условия: [ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} = -e^{-y} \sin x - 1. ]

Интегрируем по ( y ): [ v(x, y) = \int \left( -e^{-y} \sin x - 1 \right) \, dy = e^{-y} \sin x - y + C(x), ] где ( C(x) ) — произвольная функция от ( x ).

2. Из второго условия: [ \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} = e^{-y} \cos x. ]

Вычислим ( \frac{\partial v}{\partial x} ) из найденного ( v(x, y) ): [ v(x, y) = e^{-y} \sin x - y + C(x), ] [ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{-y} \sin x - y + C(x) \right) = e^{-y} \cos x + C'(x). ]

Приравниваем с ( \frac{\partial v}{\partial x} = e^{-y} \cos x ): [ e^{-y} \cos x + C'(x) = e^{-y} \cos x. ]

Отсюда: [ C'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad C(x) = \text{const}. ]

Шаг 3: Найдём аналитическую функцию ( f(z) )

Теперь, когда найдены ( u(x, y) ) и ( v(x, y) ), аналитическая функция имеет вид: [ f(z) = u(x, y) + i v(x, y), ] где: [ u(x, y) = e^{-y} \cos x - x, \quad v(x, y) = e^{-y} \sin x - y. ]

Подставляем: [ f(z) = \left( e^{-y} \cos x - x \right) + i \left( e^{-y} \sin x - y \right). ]

В комплексной форме ( z = x + i y ), где ( x = \operatorname{Re}(z) ), ( y = \operatorname{Im}(z) ), можно записать ( f(z) ) следующим образом: [ f(z) = e^{-y} (\cos x + i \sin x) - x - i y. ]

Используем формулу Эйлера ( \cos x + i \sin x = e^{i x} ): [ f(z) = e^{-y} e^{i x} - z = e^{-i y} - z. ]

Ответ:

Функция ( u(x, y) = e^{-y} \cos x - x ) может быть действительной частью аналитической функции. Эта функция имеет вид: [ f(z) = e^{-i z} - z. ]