Построить область плоскости z, определяемую данными неравенствами

Предмет: Математика

Раздел: Комплексный анализ, неравенства на комплексной плоскости

Дано множество неравенств, определяющих область на комплексной плоскости ( z ). Разберем каждое из них:

1. Неравенство |z - 1| > 1

   • Это означает, что точка ( z ) находится вне круга с центром в точке ( z = 1 ) и радиусом 1.

2. Неравенство 0 \leq \operatorname{Re} z < 3

   • Это ограничивает область между вертикальными прямыми ( x = 0 ) (включительно) и ( x = 3 ) (не включая).

3. Неравенство -1 \leq \operatorname{Im} z < 0

   • Это ограничивает область между горизонтальными прямыми ( y = -1 ) (включительно) и ( y = 0 ) (не включая).

4. Неравенство \left| \frac{z}{4} \right| \geq |z| - 0.25

   • Это более сложное неравенство, которое можно преобразовать:
     \frac{|z|}{4} \geq |z| - 0.25
     Решая относительно ( |z| ), получаем:
     \frac{|z|}{4} - |z| \geq -0.25
     - \frac{3|z|}{4} \geq -0.25
     |z| \leq \frac{1}{3}
   • Это означает, что точка ( z ) должна находиться внутри круга радиуса ( \frac{1}{3} ) с центром в начале координат.

Итоговая область

Область на комплексной плоскости ( z ) — это пересечение:

• внешней области круга ( |z - 1| > 1 ),
• полосы ( 0 \leq \operatorname{Re} z < 3 ),
• полосы ( -1 \leq \operatorname{Im} z < 0 ),
• круга ( |z| \leq \frac{1}{3} ).

Графически это можно построить, изобразив все ограничения и выделив область их пересечения.