Особые точки и вычисление вычетов

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Особые точки и вычисление вычетов

Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

Часть (a)

Дана функция:
 f(z) = \frac{e^{z^2} - 1}{z^3 - iz^2} 

1. Найдём особые точки

Особые точки находятся там, где знаменатель обращается в ноль, но числитель не зануляется одновременно.

Рассмотрим уравнение знаменателя:
 z^3 - iz^2 = 0 
Вынесем  z^2 :
 z^2 (z - i) = 0 

Решения:
 z^2 = 0 \Rightarrow z = 0 
 z - i = 0 \Rightarrow z = i 

Таким образом, изолированные особые точки:
 z = 0, \quad z = i 

2. Классификация особых точек

Рассмотрим поведение числителя в найденных точках.

• Точка  z = 0 :
  Числитель  e^{z^2} - 1  разлагается в ряд Тейлора:
   e^{z^2} - 1 = z^2 + \frac{z^4}{2!} + \frac{z^6}{3!} + \dots 
  В числителе есть  z^2 , а в знаменателе  z^3 , значит, после сокращения остаётся  \frac{1}{z} , что означает простой полюс.

• Точка  z = i :
  Числитель  e^{z^2} - 1  в точке  z = i  не зануляется, а знаменатель имеет первый порядок (линейный множитель  z - i ), значит, это тоже простой полюс.

3. Вычисление вычетов

• Для  z = 0 :
  После разложения видно, что коэффициент при  \frac{1}{z}  в разложении даёт вычет.
  Разложение даёт вычет  1 .

• Для  z = i :
  Используем стандартную формулу для простого полюса:
   \text{Res}(f, i) = \lim\limits_{z \to i} (z - i) f(z) 
  После подстановки и вычислений получаем вычет  e^{-1} .

Часть (б)

Дана функция:
 f(z) = \frac{2}{z} + \sin \frac{2}{z} 

1. Найдём особые точки

Функция имеет особые точки там, где аргумент синуса стремится к бесконечности. Это происходит в точке  z = 0 .

2. Классификация особых точек

Рассмотрим поведение  \sin \frac{2}{z}  вблизи  z = 0 :
Разложим синус в ряд Тейлора:

 \sin \frac{2}{z} = \frac{2}{z} - \frac{1}{3!} \left(\frac{2}{z}\right)^3 + \frac{1}{5!} \left(\frac{2}{z}\right)^5 - \dots 

Таким образом, функция содержит бесконечно много членов вида  \frac{1}{z}, \frac{1}{z^3}, \frac{1}{z^5}, \dots , что означает, что  z = 0  — это существенная особая точка.

3. Вычисление вычетов

Вычет определяется коэффициентом при  \frac{1}{z}  в разложении.

Из разложения видно, что  \frac{2}{z}  даёт коэффициент  2 , а остальные члены не содержат  \frac{1}{z} .

Следовательно, вычет в точке  z = 0  равен  2 .

Ответ:

1. Для функции (a):

   • Особые точки:  z = 0, z = i 
   • Классификация: простые полюсы
   • Вычеты:  \text{Res}(f, 0) = 1 ,  \text{Res}(f, i) = e^{-1} 

2. Для функции (б):

   • Особая точка:  z = 0 
   • Классификация: существенная особая точка
   • Вычет:  \text{Res}(f, 0) = 2