Определить траекторию точки

Предмет: Математика

Раздел: Комплексный анализ

Задача №5:

Дана точка ( z ) на комплексной плоскости, которая пробегает окружность ( |z| = R ) при ( R > 1 ). Требуется определить траекторию точки ( z + z^{-1} ).

Решение:

1. Пусть ( z ) имеет представление в показательной форме: z = R e^{i\varphi},
   где ( \varphi ) — параметр, пробегающий значения от ( 0 ) до ( 2\pi ).

2. Найдем выражение для ( z^{-1} ): z^{-1} = \frac{1}{R} e^{-i\varphi}.

3. Рассмотрим сумму: z + z^{-1} = R e^{i\varphi} + \frac{1}{R} e^{-i\varphi}.

4. Воспользуемся формулой Эйлера: e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi,
   e^{-i\varphi} = \cos\varphi - i\sin\varphi.

5. Тогда: z + z^{-1} = R (\cos\varphi + i\sin\varphi) + \frac{1}{R} (\cos\varphi - i\sin\varphi).

6. Разделим на вещественную и мнимую части:

   • Вещественная часть: \operatorname{Re}(z + z^{-1}) = R\cos\varphi + \frac{1}{R} \cos\varphi = \left(R + \frac{1}{R} \right) \cos\varphi.
   • Мнимая часть: \operatorname{Im}(z + z^{-1}) = R\sin\varphi - \frac{1}{R} \sin\varphi = \left(R - \frac{1}{R} \right) \sin\varphi.

7. Обозначим: x = \operatorname{Re}(z + z^{-1}),
   y = \operatorname{Im}(z + z^{-1}).

8. Получаем параметрические уравнения: x = \left(R + \frac{1}{R} \right) \cos\varphi,
   y = \left(R - \frac{1}{R} \right) \sin\varphi.

9. Возведем обе части в квадрат и сложим: \frac{x^2}{\left(R + \frac{1}{R} \right)^2} + \frac{y^2}{\left(R - \frac{1}{R} \right)^2} = \cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1.

10. Это уравнение эллипса с полуосями:

    • Большая полуось: a = R + \frac{1}{R},
    • Малая полуось: b = R - \frac{1}{R}.

Ответ:

Точка ( z + z^{-1} ) описывает эллипс с центром в начале координат, большой полуосью R + \frac{1}{R} и малой полуосью R - \frac{1}{R}.