Определить, может ли она быть действительной частью аналитической функции

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Аналитические функции

Условие задачи:

Дана функция u(x, y) = e^{-y} \cos x - x. Нужно определить, может ли она быть действительной частью аналитической функции f(z), и если да, то найти f(z).

Решение:

Функция f(z) представляется в виде:

f(z) = u(x, y) + i v(x, y),

где u(x, y) — действительная часть, а v(x, y) — мнимая часть.

Условие аналитичности:

Для того чтобы функция f(z) была аналитической, её составляющие u(x, y) и v(x, y) должны удовлетворять условиям Коши — Римана:

1. \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},
2. \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.

Шаг 1. Вычислим частные производные функции u(x, y).

Дана функция:

u(x, y) = e^{-y} \cos x - x.

1. Производная по x:

\frac{\partial u}{\partial x} = -e^{-y} \sin x - 1.

2. Производная по y:

\frac{\partial u}{\partial y} = -e^{-y} \cos x.

Шаг 2. Найдём v(x, y).

Из первого условия Коши — Римана:

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}.

Подставляем:

\frac{\partial v}{\partial y} = -e^{-y} \sin x - 1.

Интегрируем по y:

v(x, y) = \int \left(-e^{-y} \sin x - 1 \right) \, dy = e^{-y} \sin x - y + C(x),

где C(x) — произвольная функция от x.

Из второго условия Коши — Римана:

\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.

Подставляем:

-e^{-y} \cos x = -\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{-y} \sin x - y + C(x)\right).

Вычисляем производную:

-e^{-y} \cos x = -e^{-y} \cos x + C'(x).

Сравниваем:

C'(x) = 0 \implies C(x) = \text{const}.

Шаг 3. Найдём f(z).

Теперь мы знаем:

v(x, y) = e^{-y} \sin x - y + \text{const}.

Функция f(z) имеет вид:

f(z) = u(x, y) + i v(x, y) = \left(e^{-y} \cos x - x\right) + i \left(e^{-y} \sin x - y\right).

Перейдём к комплексной переменной z = x + i y. Тогда:

e^{-y} \cos x + i e^{-y} \sin x = e^{-y + i x} = e^{-i y} e^{i x} = e^{i z}.

Следовательно:

f(z) = e^{-i z} - z + \text{const}.

Ответ:

Функция u(x, y) может быть действительной частью аналитической функции. Эта функция имеет вид:

f(z) = e^{-i z} - z + \text{const}.