Определить, может ли функция быть действительной частью аналитической функции

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Аналитические функции

Задание: Определить, может ли функция ( u(x, y) = y + x^2 - y^2 + 1 ) быть действительной частью аналитической функции ( f(z) ), и, если да, найти ( f(z) ).

Решение:

Функция ( f(z) ) является аналитической, если она удовлетворяет условиям Коши-Римана. Пусть ( f(z) = u(x, y) + i v(x, y) ), где ( u(x, y) ) — действительная часть, а ( v(x, y) ) — мнимая часть функции. Тогда условия Коши-Римана имеют вид:

 \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. 

1. Вычислим производные для ( u(x, y) ):

Дана функция:  u(x, y) = y + x^2 - y^2 + 1. 

Найдём частные производные:  \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 1 - 2y. 

2. Проверим условия Коши-Римана:

Предположим, что существует ( v(x, y) ), такая что условия Коши-Римана выполняются. Тогда:  \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} = -(1 - 2y) = -1 + 2y. 

3. Найдём ( v(x, y) ):

Для нахождения ( v(x, y) ) интегрируем ( \frac{\partial v}{\partial y} = 2x ) по ( y ):  v(x, y) = \int 2x \, dy = 2xy + C(x),  где ( C(x) ) — произвольная функция от ( x ).

Теперь найдём ( C(x) ), используя второе условие Коши-Римана:  \frac{\partial v}{\partial x} = -1 + 2y. 

Подставим ( v(x, y) = 2xy + C(x) ):  \frac{\partial v}{\partial x} = 2y + C'(x). 

Приравниваем к ( -1 + 2y ):  2y + C'(x) = -1 + 2y. 

Отсюда:  C'(x) = -1 \quad \Rightarrow \quad C(x) = -x + C_0,  где ( C_0 ) — константа.

Итак, ( v(x, y) ) имеет вид:  v(x, y) = 2xy - x + C_0. 

4. Запишем ( f(z) ):

Теперь ( f(z) = u(x, y) + i v(x, y) ):  f(z) = (y + x^2 - y^2 + 1) + i (2xy - x + C_0). 

Переходим к комплексной переменной ( z = x + iy ), где ( x = \text{Re}(z) ), ( y = \text{Im}(z) ). Выразим ( u(x, y) ) и ( v(x, y) ) через ( z ) и ( \overline{z} ), где:  z = x + iy, \quad \overline{z} = x - iy, \quad x = \frac{z + \overline{z}}{2}, \quad y = \frac{z - \overline{z}}{2i}. 

Подставляем и упрощаем:  f(z) = z^2 + z + C_0. 

Ответ:

Да, функция ( u(x, y) ) может быть действительной частью аналитической функции. Соответствующая аналитическая функция:  f(z) = z^2 + z + C_0,  где ( C_0 ) — произвольная константа.