Определить, какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается при отображении плоскости с помощью функций

Задание:

Определить, какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается при отображении плоскости с помощью функций:

• 1. $\text{(}W(z)=z^2+2z\text{)}$
• 2. $\text{(}W(z)=e^z\text{)}$

Определение предмета и раздела:

Данный вопрос относится к предмету комплексный анализ, а конкретнее — к разделу, связанному с комплексными отображениями (или конформными преобразованиями) и их геометрическим воздействием на комплексную плоскость. В таких заданиях обычно изучают, как различные отображения воздействуют на фигуры на комплексной плоскости (например, на их сжатие, растяжение, повороты и т.д.).

1. $\text{(}W(z)=z^2+2z\text{)}$

Шаг 1: Разложение функции на элементы

Функция состоит из двух частей:

• Квадратичный член: $\text{(}{z}^2\text{)}$, который является нетривиальной частью. Он приводит к растяжению, сжатию и вращению точек вокруг начала координат.
• Линейный член: $\text{(}2z\text{)}$, который действует как простое масштабирование и вращение.

Шаг 2: Исследование динамики

Для понимания деформации, вычислим производную от этой функции — она покажет локальное поведение отображения:

$\text{[}\frac{dW(z)}{dz}=2z+2\text{]}$

Эта производная описывает моментальное изменение изображения любого элемента при малом изменении $\text{(}z\text{)}$. В зависимости от значения $\text{(}z\text{)}$, функция либо сжимает, либо растягивает фигуру:

• Если модуль $\text{(}2z+2\text{)}$ больше 1, то функция растягивает плоскость в этих областях.
• Если модуль $\text{(}2z+2\text{)}$ меньше 1, то функция сжимает плоскость.

Определим точки, где длина производной минимальна и максимальна:

• В точке $\text{(}z=-1\text{)}$, производная $\text{(}\frac{dW(z)}{dz}=0\text{)}$, что указывает на критическую точку, где происходит максимальное сжатие. Это связано с тем, что производная исчезает, вызывая локальную деформацию.
• При удалении от $\text{(}z=-1\text{)}$, производная становится больше по модулю, что указывает на растяжение.

Вывод для $\text{(}W(z)=z^2+2z\text{)}$:

• В окрестностях $\text{(}z=-1\text{)}$ происходит сжатие.
• В областях, удаленных от $\text{(}z=-1\text{)}$, комплексная плоскость растягивается.

2. $\text{(}W(z)=e^z\text{)}$

Шаг 1: Исследование функции

Функция экспоненты $\text{(}W(z)=e^z\text{)}$ является стандартной комплексной экспонентой. Важная особенность экспоненциальной функции в комплексной плоскости заключается в том, что эта функция обладает ключевым свойством: она модулирует экспоненту по модулю (амплитуде) и "крутит" плоскость на углы, связанные с аргументом $\text{(}z\text{)}$.

Шаг 2: Производная

Поскольку производная от комплексной экспоненты равна самой функции, вычислим:

$\text{[}\frac{dW(z)}{dz}=e^z\text{]}$

Это означает, что в каждой точке $\text{(}z\text{)}$ функция увеличивает модуль в зависимости от значения $\text{(}z\text{)}$ и увеличивает аргумент на фиксированные углы.

Шаг 3: Поведение при сжатии/растяжении

• При действии функции на действительные числа (то есть, при $\text{(}z\in \mathbb{R}\text{)}$), модуль экспоненты $\text{(}{e}^x\text{)}$ стремительно возрастает или убывает в зависимости от знака $\text{(}x\text{)}$. Таким образом, для положительных $\text{(}x\text{)}$ — плоскость растягивается, а для отрицательных $\text{(}x\text{)}$ — сжимается.
• На оси $\text{(}\text{Im}(z)=\text{const}\text{)}$ (при чисто мнимом $\text{(}z=iy\text{)}$, где $\text{(}y\text{)}$ — действительное число), вращение идёт без изменения амплитуды, но происходит вращение.

Вывод для $\text{(}W(z)=e^z\text{)}$:

• Области с положительной действительной частью $\text{(}z\text{)}$ (правая полуплоскость) растягиваются.
• Области с отрицательной действительной частью $\text{(}z\text{)}$ (левая полуплоскость) сжимаются.

Общий вывод:

1. Для $\text{(}W(z)=z^2+2z\text{)}$:
• Сжатие происходит в окрестности $\text{(}z=-1\text{)}$.
• Растяжение происходит вдали от $\text{(}z=-1\text{)}$.
2. Для $\text{(}W(z)=e^z\text{)}$:
• Сжатие происходит в левой полуплоскости (при отрицательной действительной части).
• Растяжение происходит в правой полуплоскости (при положительной действительной части).