Определить, какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается при отображении плоскости с помощью функций

Задание:

Определить, какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается при отображении плоскости с помощью функций:

• 1. \( W(z) = z^2 + 2z \)
• 2. \( W(z) = e^z \)

Определение предмета и раздела:

Данный вопрос относится к предмету комплексный анализ, а конкретнее — к разделу, связанному с комплексными отображениями (или конформными преобразованиями) и их геометрическим воздействием на комплексную плоскость. В таких заданиях обычно изучают, как различные отображения воздействуют на фигуры на комплексной плоскости (например, на их сжатие, растяжение, повороты и т.д.).

1. \( W(z) = z^2 + 2z \)

Шаг 1: Разложение функции на элементы

Функция состоит из двух частей:

• Квадратичный член: \( z^2 \), который является нетривиальной частью. Он приводит к растяжению, сжатию и вращению точек вокруг начала координат.
• Линейный член: \( 2z \), который действует как простое масштабирование и вращение.

Шаг 2: Исследование динамики

Для понимания деформации, вычислим производную от этой функции — она покажет локальное поведение отображения:

\[\frac{dW(z)}{dz} = 2z + 2\]

Эта производная описывает моментальное изменение изображения любого элемента при малом изменении \(z\). В зависимости от значения \(z\), функция либо сжимает, либо растягивает фигуру:

• Если модуль \(2z + 2\) больше 1, то функция растягивает плоскость в этих областях.
• Если модуль \(2z + 2\) меньше 1, то функция сжимает плоскость.

Определим точки, где длина производной минимальна и максимальна:

• В точке \(z = -1\), производная \(\frac{dW(z)}{dz} = 0\), что указывает на критическую точку, где происходит максимальное сжатие. Это связано с тем, что производная исчезает, вызывая локальную деформацию.
• При удалении от \(z = -1\), производная становится больше по модулю, что указывает на растяжение.

Вывод для \(W(z) = z^2 + 2z\):

• В окрестностях \(z = -1\) происходит сжатие.
• В областях, удаленных от \(z = -1\), комплексная плоскость растягивается.

2. \( W(z) = e^z \)

Шаг 1: Исследование функции

Функция экспоненты \( W(z) = e^z \) является стандартной комплексной экспонентой. Важная особенность экспоненциальной функции в комплексной плоскости заключается в том, что эта функция обладает ключевым свойством: она модулирует экспоненту по модулю (амплитуде) и "крутит" плоскость на углы, связанные с аргументом \(z\).

Шаг 2: Производная

Поскольку производная от комплексной экспоненты равна самой функции, вычислим:

\[\frac{dW(z)}{dz} = e^z\]

Это означает, что в каждой точке \(z\) функция увеличивает модуль в зависимости от значения \(z\) и увеличивает аргумент на фиксированные углы.

Шаг 3: Поведение при сжатии/растяжении

• При действии функции на действительные числа (то есть, при \(z \in \mathbb{R}\)), модуль экспоненты \(e^x\) стремительно возрастает или убывает в зависимости от знака \(x\). Таким образом, для положительных \(x\) — плоскость растягивается, а для отрицательных \(x\) — сжимается.
• На оси \(\text{Im}(z) = \text{const}\) (при чисто мнимом \(z = iy\), где \(y\) — действительное число), вращение идёт без изменения амплитуды, но происходит вращение.

Вывод для \(W(z) = e^z\):

• Области с положительной действительной частью \(z\) (правая полуплоскость) растягиваются.
• Области с отрицательной действительной частью \(z\) (левая полуплоскость) сжимаются.

Общий вывод:

1. Для \(W(z) = z^2 + 2z\):
• Сжатие происходит в окрестности \(z = -1\).
• Растяжение происходит вдали от \(z = -1\).
2. Для \(W(z) = e^z\):
• Сжатие происходит в левой полуплоскости (при отрицательной действительной части).
• Растяжение происходит в правой полуплоскости (при положительной действительной части).