Определить, где существует производная этой функции, и вычислить её

Условие:

1. Найти точки существования производной функции f (z) = sin(z + 2i), и вычислить в них f’( z).

Решение:

Предмет: Математика
Раздел: Комплексный анализ

Решение:

У нас дана функция f(z)=sin(z+2i), где z является комплексным числом. Требуется определить, где существует производная этой функции, и вычислить её.


1. Анализ функции:

Функция sin(z) определена для всех комплексных чисел z. Она является аналитической (дифференцируемой) на всей комплексной плоскости.

В данном случае аргумент функции синуса — z+2i. Это линейное преобразование, которое также аналитично на всей комплексной плоскости. Следовательно, функция f(z)=sin(z+2i) будет аналитической на всей комплексной плоскости C, а значит, её производная существует везде.


2. Вычисление производной f(z):

Производная функции sin(z) по z равна cos(z). Используя правило цепочки для функции sin(z+2i), получаем:

f(z)=ddzsin(z+2i)=cos(z+2i)ddz(z+2i).

Производная ddz(z+2i) равна 1, так как z — переменная, а 2i — константа. Следовательно:

f(z)=cos(z+2i).


3. Ответ:

  1. Точки существования производной: Производная существует для всех zC.
  2. Производная функции: f(z)=cos(z+2i).
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Отвечу на любые дополнительные вопросы по учебе