Определить, где существует производная этой функции, и вычислить её

Предмет: Математика
Раздел: Комплексный анализ

Решение:

У нас дана функция f(z) = \sin(z + 2i), где z является комплексным числом. Требуется определить, где существует производная этой функции, и вычислить её.

1. Анализ функции:

Функция \sin(z) определена для всех комплексных чисел z. Она является аналитической (дифференцируемой) на всей комплексной плоскости.

В данном случае аргумент функции синуса — z + 2i. Это линейное преобразование, которое также аналитично на всей комплексной плоскости. Следовательно, функция f(z) = \sin(z + 2i) будет аналитической на всей комплексной плоскости \mathbb{C}, а значит, её производная существует везде.

2. Вычисление производной f'(z):

Производная функции \sin(z) по z равна \cos(z). Используя правило цепочки для функции \sin(z + 2i), получаем:

 f'(z) = \frac{d}{dz}\sin(z + 2i) = \cos(z + 2i) \cdot \frac{d}{dz}(z + 2i). 

Производная \frac{d}{dz}(z + 2i) равна 1, так как z — переменная, а 2i — константа. Следовательно:

 f'(z) = \cos(z + 2i). 

3. Ответ:

1. Точки существования производной: Производная существует для всех z \in \mathbb{C}.
2. Производная функции: f'(z) = \cos(z + 2i).