1. Найти точки существования производной функции f (z) = sin(z + 2i), и вычислить в них f’( z).
Предмет: Математика
Раздел: Комплексный анализ
Решение:
У нас дана функция , где является комплексным числом. Требуется определить, где существует производная этой функции, и вычислить её.
1. Анализ функции:
Функция определена для всех комплексных чисел . Она является аналитической (дифференцируемой) на всей комплексной плоскости.
В данном случае аргумент функции синуса — . Это линейное преобразование, которое также аналитично на всей комплексной плоскости. Следовательно, функция будет аналитической на всей комплексной плоскости , а значит, её производная существует везде.
2. Вычисление производной :
Производная функции по равна . Используя правило цепочки для функции , получаем:
Производная равна , так как — переменная, а — константа. Следовательно:
3. Ответ:
- Точки существования производной: Производная существует для всех .
- Производная функции: .