Найти значение выражения и вычислить действительную и мнимую часть полученного числа

Предмет: Математика

Раздел: Комплексные числа и функции

Задача: Найти значение выражения \(( - i )^{2i}\) и вычислить действительную и мнимую часть полученного числа.

Решение:

1. Преобразуем базу \(-i\) в экспоненциальную форму. Комплексное число \(-i\) можно записать в полярной форме.
   \[ -i = 0 - i = e^{i\frac{3\pi}{2}} \]
   Это возможно, потому что угол \(-i\) на комплексной плоскости равен \( \frac{3\pi}{2} \), а его модуль равен 1 (т.к. \(|-i| = 1\) ). Теперь мы можем представить \(-i\) как:
   \[ -i = e^{i\frac{3\pi}{2}} \]
2. Используем показатель степени \(2i\): Теперь нам нужно возвести основание \( e^{i \frac{3\pi}{2}} \) в степень \(2i\).
   \[ \left( e^{i \frac{3\pi}{2}} \right)^{2i} = e^{2i \cdot i \frac{3\pi}{2}} = e^{-3\pi} \]
3. Вычисляем экспоненту:
   \[ e^{-3\pi} \]
   Это просто действительное число, потому что в результате у нас нет мнимой части, то есть это число является действительным.
4. Окончательный ответ: Значение выражения \(( - i )^{2i}\) равно \( e^{-3\pi} \). Так как это число действительное и не имеет мнимой компоненты, то:
   • Действительная часть: \( e^{-3\pi} \).
   • Мнимая часть: \( 0 \).

Ответ:

• Действительная часть: \( e^{-3\pi} \).
• Мнимая часть: \( 0 \).