Найти значение аргумента для комплексного числа после вычисления его квадратного корня

У нас есть задание по математике, а именно по разделу комплексных чисел (тригонометрическая форма комплексных чисел). Нам нужно найти значение аргумента (φ) для комплексного числа после вычисления его квадратного корня. Дано комплексное число в тригонометрической форме: \[ z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \] Где \( z \) — это комплексное число в тригонометрической форме. Здесь:

• Модуль \( |z| = 2 \) (коэффициент перед скобками),
• Аргумент \( \text{arg}(z) = \frac{\pi}{4} \) — это угол, который число z образует с положительным направлением действительной оси.

Первым шагом найдем квадратный корень из данного комплексного числа.

1. Запишем корень из комплексного числа \( z \) в тригонометрической форме. Если \( z = r \left( \cos \phi + i \sin \phi \right) \), то для квадратного корня \( \sqrt{z} \), модуль становится равным \( \sqrt{r} \), а аргумент делится пополам: \[ \sqrt{z} = \sqrt{r} \left( \cos \frac{\phi}{2} + i \sin \frac{\phi}{2} \right) \] В нашем случае:
• \( r = 2 \),
• \( \phi = \frac{\pi}{4} \).
2. Таким образом, модуль квадратного корня будет равен: \[ \left| \sqrt{z} \right| = \sqrt{2} \] Аргумент будет: \[ \text{arg} \left( \sqrt{z} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} \]
3. Мы нашли одно значение аргумента \( \sqrt{z} \), которое равно \( \frac{\pi}{8} \). Однако, помимо основного значения аргумента, комплексное число имеет два корня. Второй аргумент может быть получен путём добавления \( \pi \) к значению аргумента, то есть: \[ \text{arg} \left( \sqrt{z} \right) = \frac{\pi}{8} + \pi = \frac{9\pi}{8} \]

Ответ: Аргументы \( \sqrt{z} \) равны: \[ \phi_1 = \frac{\pi}{8}, \quad \phi_2 = \frac{9\pi}{8}. \]