Найти угол поворота (ф) направления, выходящего из точки Zо, и коэффициент растяжения (k) в точках

Определение предмета и раздела:

Задание относится к комплексному анализу, раздел математики, который изучает свойства функций комплексной переменной. Конкретнее, задача связана с конформными отображениями, где необходимо исследовать изменения угла и коэффициент масштабирования в отображениях \( w = z^2 \) и \( w = z^3 \).

Введение в задачу:

Мы имеем два отображения:

1. \( w = z^2 \), квадратическое отображение,
2. \( w = z^3 \), кубическое отображение,

где \( z = x + iy \) — комплексная переменная, а Преобразования \( w = f(z) \) могут менять угол направления и коэффициент масштабирования в различных точках плоскости. Необходимо найти:

• угол поворота направления (\( \varphi \)),
• коэффициент растяжения (\( k \)), в двух исходных точках \( z_0 \):
1. \( z_0 = -\frac{1}{4} \)
2. \( z_0 = -3+4i \)

Общие наблюдения для отображений \( w = z^2 \) и \( w = z^3 \):

1. Коэффициент растяжения: Для отображения функции \( w = z^n \), коэффициент растяжения определяется как: \[ k = |z_0|^{n-1} \] Это выражение можно вывести из того, что производная функции \( z^n \) равна \( n z^{n-1} \), и она описывает изменение расстояний при переходе от точки \( z_0 \) к \( w_0 = f(z_0) \).
2. Угол поворота: Для отображения \( w = z^n \) угол поворота \( \varphi \), соответствующий направлению в точке \( z_0 \), увеличится на \( (n-1) \) углов точки \( z_0 \), то есть на значение: \[ \varphi = (n-1)\arg(z_0) \] где \( \arg(z_0) \) — угол (аргумент) комплексного числа \( z_0 \) с осью \( Ox \).

Задача 1: \( z_0 = -\frac{1}{4} \)

1. Отображение \( w = z^2 \)

1. Коэффициент растяжения: Поскольку \( n = 2 \), коэффициент растяжения находится по формуле: \[ k = |z_0|^{2-1} = |z_0| = \left|-\frac{1}{4}\right| = \frac{1}{4} \]
2. Угол поворота: Аргумент числа \( -\frac{1}{4} \) равен \( \pi \) (число лежит на отрицательной вещественной оси). Следовательно, \[ \arg(z_0) = \pi \] Угол поворота при отображении \( w = z^2 \): \[ \varphi = (2-1)\arg(z_0) = \pi \]

Ответ для \( w = z^2 \): - Коэффициент растяжения \( k = \frac{1}{4} \) - Угол поворота \( \varphi = \pi \)

2. Отображение \( w = z^3 \)

1. Коэффициент растяжения: Здесь \( n = 3 \), поэтому коэффициент растяжения: \[ k = |z_0|^{3-1} = |z_0|^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \]
2. Угол поворота: Для отображения \( w = z^3 \) угол поворота: \[ \varphi = (3-1)\arg(z_0) = 2\pi \]

Ответ для \( w = z^3 \): - Коэффициент растяжения \( k = \frac{1}{16} \) - Угол поворота \( \varphi = 2\pi \)

Задача 2: \( z_0 = -3 + 4i \)

1. Отображение \( w = z^2 \)

1. Коэффициент растяжения: \( z_0 = -3 + 4i \), найдем модуль: \[ |z_0| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Коэффициент растяжения: \[ k = |z_0| = 5 \]
2. Угол поворота: Сначала найдем аргумент: \[ \arg(z_0) = \text{atan2}\left(\frac{4}{-3}\right) = \pi - \text{atan2}\left(\frac{4}{3}\right) = \pi - 0.93 = 2.214 \, \text{радиан} \] Угол поворота для отображения \( w = z^2 \): \[ \varphi = (2-1)\arg(z_0) = 2.214 \, \text{радиан} \]

Ответ для \( w = z^2 \): - Коэффициент растяжения \( k = 5 \) - Угол поворота \( \varphi = 2.214 \, \text{радиан} \)

2. Отображение \( w = z^3 \)

1. Коэффициент растяжения: Для \( n = 3 \), коэффициент растяжения: \[ k = |z_0|^2 = 5^2 = 25 \]
2. Угол поворота: Угол поворота для кубического отображения: \[ \varphi = (3-1)\arg(z_0) = 2 \times 2.214 = 4.428 \, \text{радиан} \]

Ответ для \( w = z^3 \): - Коэффициент растяжения \( k = 25 \) - Угол поворота \( \varphi = 4.428 \, \text{радиан} \)

Окончательные ответы:

Для \( z_0 = -\frac{1}{4} \):

• Отображение \( w = z^2 \): \( k = \frac{1}{4} \), \( \varphi = \pi \)
• Отображение \( w = z^3 \): \( k = \frac{1}{16} \), \( \varphi = 2\pi \)

Для \( z_0 = -3 + 4i \):

• Отображение \( w = z^2 \): \( k = 5 \), \( \varphi = 2.214 \, \text{радиан} \)
• Отображение \( w = z^3 \): \( k = 25 \), \( \varphi = 4.428 \, \text{радиан} \)